平均値と期待値の違い

平均値と期待値の違いについて書きました。

平均にはいくつかの種類があり、加重平均や幾何平均、調和平均などがありますが、ここでは、算術平均のことを指しています。

通常は、平均値というと、算術平均の値のことです。

平均値とは

算術平均とは、個々のデータを全て足し合わせて、データの総数で割ったものです。

$$\bar{x}=\frac{x+y}{2}$$

データxが5個ある場合は、

$$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}{5}$$

ですね。

期待値とは、確率変数の値を、確率による重みを付けて平均した値です。

確率変数とは、その値をとる確率が与えられている変数。

決まった確率規則がある分布が、確率分布で、確率分布に従う変数が、確率分布です。

確率的になんらかの値となるものがあったとします。そのときに、なんども試行を続けた際の平均値が期待値です。

$x$ がとりうる値、$p$ がその確率とすると、確率変数の期待値$E(X)$は、

$$E(X)=\sum_{i=1}^n x_i \times p_i\\=x_1\times p_1+x_2\times p_2+…\\+x_n\times p_n$$

取りうる値とその発生確率を掛けて、すべてを足し合わせると、期待値$E(X)$となります。

たとえば、3つの確率変数であれば、

$$E(X)=\sum_{i=1}^3 x_i \times p_i\\=x_1\times p_1+x_2\times p_2+x_3\times p_3$$

となります。

確率的に出てくる値の平均値を考えるときには、期待値と呼ばれるものになります。

たとえば、

6の目を持ったサイコロを投げをして、出る目の平均は？というと、これは期待値です。

1、2、3、4、5、6 のそれぞれの目が$\frac{1}{6}$の確率で出てくるわけで、その確率の重みをつけた平均を計算しますから、確率的に出てくる値を用いて計算を行います。

確率変数の期待値は、英語でexpectationといいますから、確率的に決まるものごとが、どのようになるか予測値を計算するようなときには、期待値といえます。

6の目が出る場合もあれば、1の目が出る場合もあります。期待値はどうなるでしょうか。

計算方法としては、各数値に確率$\frac{1}{6}$を掛け合わせたものを足し合わせます。

各数値に$\frac{1}{6}$を掛けます。

1の目確率$\frac{1}{6}$ →　 $1×\frac{1}{6}＝\frac{1}{6}$

2の目確率$\frac{1}{6}$ → 　 $2×\frac{1}{6}＝\frac{2}{6}$

3の目確率$\frac{1}{6}$ → 　 $3×\frac{1}{6}＝\frac{3}{6}$

4の目確率$\frac{1}{6}$ → 　 $4×\frac{1}{6}＝\frac{4}{6}$

5の目確率$\frac{1}{6}$ → 　 $5×\frac{1}{6}＝\frac{5}{6}$

6の目確率$\frac{1}{6}$ → 　 $6×\frac{1}{6}＝\frac{6}{6}$

次にこれらを合計すると、

$$\frac{1}{6}＋\frac{2}{6}＋\frac{3}{6}＋\frac{4}{6}＋\frac{5}{6}＋\frac{6}{6}$$

$$=\frac{21}{6}$$

$$=3.5$$

となります。

一方で、

2つのサイコロが置かれていて、2の面と4の面が出ている状態である。この2と4の平均は？という話であれば、確率的な話はまったく関係ありません。

$$\bar{x}=\frac{2+4}{2}$$

$$=3$$

単純に2と4を足して2で割る計算をして平均値を求めます。これは平均値ですね。