平均偏差（絶対偏差）の意味と求め方

データの偏差の絶対値をとり、それらを平均した値が平均偏差です。絶対偏差ともいいます。

これは、データのばらつき度合いをあらわす指標。

計算をしながら、どのような指標なのかを見ていきます。

平均偏差の求め方

次のような5人の身長データがあります。絶対平均を計算のために、5つの身長データをこしらえてきました。

168ｃｍ、169ｃｍ、172ｃｍ、175ｃｍ、181ｃｍ

まず、各データの偏差をとります。偏差とは、各データから平均値を引いたものです。

この5つのデータの平均は、173ｃｍです。

168、169、172、175、181

の各データから平均値の173ｃｍを引くと

－5、－4、－1、 2、 8

となります。各データから平均値を引くと、このように正の値ができたり、負の値ができたりします。このまますべてを足し合わせると、0となってしまいます。平均値とはそういう性質のものです。

（－5）＋（－4）＋（－1）＋ 2＋ 8 ＝ 0

そこで、絶対値をつかってみましょう。正（プラス）、負（マイナス）を関係なく考えた値が絶対値です。各偏差の絶対値は、

5 ＋ 4 ＋ 1 ＋ 2 ＋ 8

となりますね。これら各データの偏差の絶対値を足し合わせます。偏差の絶対値5つ分が足し合わさったので、それをデータ数5で割ってやると、平均偏差の値となります。

（5 ＋ 4 ＋ 1 ＋ 2 ＋ 8） / 5

= 20 / 5

= 4.0

これが絶対平均の値です。もともとの身長データは、

168、169、172、175、181

でしたから、4.0のばらつきがあると言われれば、そのくらいかなと思えますね。

まとめると、

で平均偏差を計算できます。

$n$ 個のデータがあり、1個目のデータを$x_1$、2個目のデータは$x_2$、…$n$ 個目のデータが$x_n$ としたら、

$$平均偏差＝\frac{|x_1 -\bar{x}|+…+|x_n -\bar{x}|}{n}$$

$$=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n |x_i -\bar{x}|$$

です。

絶対値は、0からの距離を意味するもので、$|x_1 -\bar{x}|$のように縦棒をつけてあらわします。$a$ と$-a$ のようにプラスであってもマイナスであっても、絶対値は同じになります。

$$|a|=a$$

$$|-a|=a$$

$$|10|=10$$

$$|-10|=10$$

となります。

ちなみに上に記載した身長データの“標準偏差”は、4.69です。

標準偏差は、偏差の絶対値はつかわず、偏差を2乗したものをつかいます。

各データの偏差を2乗し、それらを足し合わせたものを、データ数５で割ります。さらに 2乗をした分、もとに戻す意味で平方根をとります。それで出てきた値が標準偏差です。

$$\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i -\bar{x})^2}$$

平均偏差と標準偏差の値には違いがあるのです。標準偏差に比べると、平均偏差は平均値から離れた値のばらつき評価が弱くなります。標準偏差は2乗をするので、偏差が大きな値だと、2乗によってさらに大きな値になるからです。

統計学では、平均偏差よりも標準偏差がよくつかわれます。平均偏差は数学的に扱いにくく、統計学でつかう諸々の計算は、標準偏差を用います。