加重平均の意味と計算方法

「平均」というと、一般的に、各データの値を足し合わせ、データ数で割って計算する算術平均をイメージしますよね。実際によく使われています。

でも、実は平均のにもいくつかの種類があり、用途によってつかい分けられています。

参考記事　平均値の種類はひとつだけじゃない。算術平均、加重平均、幾何平均、移動平均の違いと使い分け

その平均の中のひとつの加重平均は使われることが多いです。データを取り扱うことがある方は知って使えるようにしておきましょう。

この記事では、加重平均の意味や計算方法について、モノをつくる製造工場に関する数値を例として書きました。

加重平均の意味と計算式

加重平均とは、各データに重みづけをして計算する平均値です。

加重とは「より重要なものに重みを加える」という意味であり、その方法で計算した平均が加重平均です。

三つのデータｘ₁、ｘ₂、ｘ₃ があり、それぞれの重みがｗ₁、ｗ₂、ｗ₃ とすると加重平均の計算式は次のとおりです。

または、

データｘがｎ個、それぞれの重みｗもｎ個分あるとしたら、

または、

となります。

どのようなときに使われるかというと、たとえばこんなときです。

ある定食屋で、Aランチ・Bランチ・Cランチの3種類のメニューがあり、それぞれ、

• Aランチ・・・500円
• Bランチ・・・600円
• Cランチ・・・700円

であったとしましょう。今日の売上数はこうでした。

メニュー	料金	売上数
Aランチ	500円	10
Bランチ	600円	10
Cランチ	700円	20

今日1日のメニューの平均売上を計算するときには加重平均を使います。

その前に、単純な算術平均を計算してみましょう。3種類のメニューの料金をそれぞれ足し合わせて3で割る、という単純な平均では、

$$\frac{500+600+700}{3}=600$$

です。しかし、これは誤りです。

なぜなら、Cランチがいちばん売上数が多いのに、それが加味されていないからです。

3種類のメニューそれぞれの売上数量を加味して、計算をしなくてはいけません。

全体の売上数は40食で、そのうち

• Aランチは10食
• Bランチは10食
• Cランチは20食

の売上数です。

700円のCランチは、ほかのメニューよりも2倍売れていますから、平均に与える影響が大きくなります。ですので、そのぶんの重みづけをして、平均を計算する必要がありますよね。

• Aランチには、10/40
• Bランチには、10/40
• Cランチには、20/40

の重みづけをして平均値を計算します。

となります。

単純な平均は、600円でしたが、加重平均では、700円のメニューに強く重みづけしたぶん、平均値が625となり、大きくなっていますね。

簡単に加重平均について説明してきました。

ここからは、とある製造工場の歩留まり率という数値計算を例題として、加重平均を考えてみます。

製造工場の歩留まり率の加重平均を計算してみる

歩留まりとは

まず、加重平均を考える前に、歩留まりについて説明します。

工場の生産性の指標として「歩留まり率」と呼ばれる指標があります。

歩留まりとは、投入した原材料から完全に活用された場合にできる最終製品に対する、実際にできた製品の比率のことです。

製品をつくるときには、原材料を全て上手く使い切れなかったり、製造工程でのミスによりロスが出てしまったりするので、100％の歩留まりになることはほぼありません。95％とか、98％といったような数字になるでしょう。

仮に、歩留まり率100％であれば、投入した原材料が一切の無駄なく活用され製品になったことになります。実際にはそのようなことはほとんどなく、原材料のロスが少なからず出るのがふつう。

鉄板を打ち抜いて加工品をつくるときには、残った部分がロスになりますし、衣服を裁縫するために使用した生地には使われない部分も出てきますよね。

とはいえ、歩留まり率を向上させることは、そのぶん利益が向上することになるわけですから、どのメーカーでも歩留まり率を100％に近づけていく努力しています。

工場の歩留まり率の平均は加重平均がよい

さて、とある製造工場の現場をのぞいてみましょう。毎日歩留まり率の数値を出して、チェックしているようです。

これが、1週間のデータです。原材料を100％活用して製造できる理論上の数量を、理論製造数とします。これに、製品として出荷できる完成品が占める割合が、歩留まり率です。

	理論製造数	完成品数	歩留まり率
1日目	10,000	9,500	95%
2日目	14,000	12,600	90%
3日目	12,000	9,600	80%
4日目	16,000	15,200	95%
5日目	10,000	8,500	85%

日によって製造数が変わっていることに注意しながら、この期間の平均歩留まり率を出してみましょう。

1日目から5日目までの歩留まり率を足し合わせて5で割ると、

89.00%になります。

このように各データの数値を足し合わせ、データ数で割って計算した平均は、算術平均と呼ばれるものです。

この場合、算術平均を見るのは間違いです。

それぞれの日の製造数に差があり、それぞれの％データの重みが異なりますから、その重みを加味して計算しなければいけません。

4日目の製造数が多いのですから、4日目・95%の影響が大きくなるはずです。

そこで登場するのが加重平均です。

加重平均を使用したほうが正しい平均の数値をあらわすことができます。

単純平均と加重平均の違い

まず、加重平均を計算する前に、単純な算術平均と加重平均にどのような違いがでるのか、わかりやすく1日目と2日目だけで考えてみましょう。

• 1日目の歩留まり率　95％
• 2日目の歩留まり率　90％

算術平均をすると、

$$(95＋90)/2＝92.5%$$

となりますが、これは上に書いたように正しい平均ではありません。

なぜかというと、製造数は1日目の10,000個に対して、2日目は4000個も多い14,000個であり、2日目の90％の方が重みがあるのに、単純に95％と90％を足して2で割ると、それが反映されないからです。

2日目の90％のほうが重みがあるのですから、1日目と2日目の歩留まり率の加重平均は、92.5％より低く、90％のほうに寄った数字になるはずです。

実際に加重平均を計算してみると、数値は92.08％となります。

2日目の90％の方が重みがあるため、単純な平均である92.5％よりも90％のほうに引っ張られたわけです。

これと同じような具合で、5日分の加重平均を計算してみましょう。

加重平均の計算方法

加重平均の計算方法には、次のふたつがあります。

• それぞれのデータに重み付けをして足し合わせて計算する方法
• %の数値は使用せず、5日間の「理論製造数の合計」と「完成品数の合計」から計算をする方法

です。それぞれ説明してきます。

それぞれのデータに重み付けをして足し合わせる

上にのせた表を再度掲載します。

	理論製造数	完成品数	歩留まり率
1日目	10,000	9,500	95%
2日目	14,000	12,600	90%
3日目	12,000	9,600	80%
4日目	16,000	15,200	95%
5日目	10,000	8,500	85%

各日付の重みはどのくらいかというと、5日間の製造数の合計が62,000個ですから、62,000個のうちどれだけを製造したかが各日付の重みになります。

• 1日目の重み　10,000 / 62,000 ＝ 0.1613
• 2日目の重み　14,000 / 62,000 ＝ 0.2258
• 3日目の重み　12,000 / 62,000 ＝ 0.1935
• 4日目の重み　16,000 / 62,000 ＝ 0.2581
• 5日目の重み　10,000 / 62,000 ＝ 0.1613

これが各日付の重みになります。当然ながら合計すると1になります。

この重みをそれぞれの日の歩留まり率に、かけ合わせます。

• 1日目　95％×0.1613＝15.32％
• 2日目　90％×0.2258＝20.32％
• 3日目　80％×0.1935＝15.48％
• 4日目　95％×0.2581＝24.52％
• 5日目　85％×0.1613＝13.71％

すべて足し合わせると、89.35％になります。※小数第2位まで表示。

5日間の「理論製造数の合計」と「完製品数の合計」から計算をする

％の数字は使わず、5日分の合計製造数と、完成した製品数から計算をします。

5日間の理論製造数が62,000個、完成品数が55,400個ですから、

55,400÷62,000＝0.893548

89.35％となります。上の計算で出た値と一致しました。

単純平均と加重平均の違い

上記データで間違ったやり方で、単純に1日ごとの％の平均値をとると、

（95％＋90％＋80％＋95％＋85％）/ 5 ＝ 89.00％

89.00％となります。加重平均の89.35％とは異なることがわかります。

まとめ

加重平均は、それぞれのデータの重要度に合わせて重みづけをしたうえで計算した平均です。

％の合計など、各データに重みづけをしたほうがより現実を的確にあらわせる場合、加重平均を使うようにします。