組み合わせの基本と計算方法

この記事では、組み合わせについて説明しますが、まずは、組み合わせと順列の違いを見ていきましょう。

順列については、こちらの記事に書いています。

組み合わせと順列の違い

5つの中から3つのポスターを選んで壁に並べて貼ることにします。

このn個の中からr個のものを選んだ並べ方を「順列」といい、次の式で計算することができます。

 = n!/(n-r)!

この式に当てはめると、

52 = 5!/(5 − 3)!

= 5×4×3×2×1 / 2×1

= 5×4×3

= 60

60 通りの選び方があるわけです。

あるいは、3回ポスターを選ぶときのそれぞれの選択肢の数を掛けあわせる、と考えてもよいでしょう。

5×4×3 = 60

※Pは「permutation」の略

このとき、3つのポスターの並び順を考慮すれば、たしかに60通りあります。ABC、ACD、BCA、CAE、DEAなど、です。この中で、並び方の順序は違うけれど、選んだポスター自体は同じであるというものがあります。

たとえば、

  • ABCの順序でポスターを選んだ場合
  • BCAの順序ポスターを選んだ場合

これらは、選ぶ順番は異なっていますが、組み合わせとしては同じです。「順列」では、並べる順序を問題にしていますから、ABCとBCAを別としてカウントします。

順序はどうでもよいと考えると、選び方は60通りよりももっと少なくなりますね。

この順序はどうでもよい選び方のことを組み合わせ」といいます。「組み合わせ」では、並べる順番は関係なしで考えます。

  • ABCの場合
  • BCAの場合

は、同じポスターを選んでいるのですから、これは2通りあるのではなくて、1通りと考えます。

組み合わせの計算式

組み合わせの計算式の前に、まず、順列の計算式を見てみます。

 = n!/(n-r)!

ここから組み合わせの計算式を考えていきます。

5個のポスターから3個を選び出す順列は、60通りの選び方があるのですが、組み合わせの場合だと、順序は関係がないので、選んだもの自体は同じだけど順序が違うだけのものは、除外して考えます。それが2つあったら、1つにする。それが3つあっても、1つにしてしまいます。

重複したものを除外するときにどうすればいいのかというと、順列の計算で出てきた数字から、「r!」分を割ってやると、計算ができるのです。

n個のものからr個をとる「組み合わせ」の計算式は、次のようになります。

C =  /r!

=n!/(n-r)!÷r!

=n!/【(n-r)!×r!】

この式で、ポスターを選ぶときの例題を考えてみます。

さきほどの例題からポスターの枚数を減らして、A・B・C・Dの4つのポスターから2つを選びだすときのことを考えてみましょう。

まず、順列を計算してみます。

42 = 4!/(4-2)!

=4×3

=12

12通りになります。実際に書き出してみると、

  1. AB
  2. AC
  3. AD
  4. BA
  5. BC
  6. BD
  7. CA
  8. CB
  9. CD
  10. DA
  11. DB
  12. DC

となります。ひとつめにAを選んだときに、次に選ばれるのは、A以外のB・C・Dの3つです。ひとつめにBを選んだときに、次に選ばれるのは、B以外のA・C・Dの3つです。

ひとつめに選ばれるのは4パターン、次に選ばれるのは3パターンありますから、それを掛け算すれば、順列は、

4×3=12

12通りです。

この12通りのうち、重複しているものはというと、

AB・・・BA と同じ

AC・・・CA と同じ

AD・・・DA と同じ

BC・・・CB と同じ

BD・・・DB と同じ

CD・・・DC と同じ

となります。重複したものを除外して考えると、12通りあったものが6通りになりました。「r!=2」です。ちょうど、順列の数字から「r!」で割った数字になりましたね。

数式に当てはめるとこうなります。

C = n!/【(n-r)!×r!】

4C2 = 4!/【(4-2)!×2!】

4C2 = 4!/【(4-2)!×2!】

4C2 = 24/4

=6

4個のものから2個をとる組み合わせは、6通りとなります。

簡単に計算できるやり方としては、nからr個分、数字を減らしていきながら掛け算をして順列を計算し、そこから「r!」で割ればいいでしょう。

n=4、r=2、としたら、4から2個分掛け合わせるので、順列は4×3=12です。そこから「r!」で割ればいいので、12÷2!=6となります。