組み合わせの基本と計算方法(順列との違いを説明)




この記事では、組み合わせについて説明しますが、まずは、組み合わせと順列の違いを見ていきましょう。

順列については、こちらの記事に書いています。

組み合わせと順列の違い

5つの中から3つのポスターを選んで壁に並べて貼ることにします。

この$n$個の中から$r$個のものを選んだ並べ方を「順列」といい、次の式で計算することができます。

$$_n P _r=\frac{n!}{(n-r)!}$$

※Pは「permutation(パーミュテーション)」の略

この式に当てはめると、

$$_5 P _3=\frac{5!}{(5-3)!}$$

$$=\frac{5\times4\times3\times2\times1}{2!}$$

$$=\frac{5\times4\times3\times2\times1}{2\times1}$$

$$=5\times4\times3$$

$$=60$$

60 通りの選び方があるわけです。

あるいは、3回ポスターを選ぶときのそれぞれの選択肢の数を掛けあわせる、と考えてもよいでしょう。

$$5\times4\times3=60$$

3つのポスターの並び順を考慮すれば、たしかに60通りあります。

5つのポスターをそれぞれ、A・B・C・D・E とすれば、そのうち3つを選んで並べると、ABC、ACD、BCA、CAE、DEAなどの色々な並びが、60通りできるわけです。

この中で、並び方の順序は違うけれど、選んだポスター自体は同じであるという場合があります。

たとえば、

  • ABCの順序でポスターを選んだ場合
  • BCAの順序でポスターを選んだ場合

これらは、選ぶ順番は異なっていますが、組み合わせとしては同じです。「順列」では、並べる順序を問題にしていますから、ABCとBCAを別としてカウントしてます。

ここで、順序はどうでもよいと考えるとしたら、選び方は60通りよりも少なくなりますね。

この順序はどうでもよい選び方のことを組み合わせ」といいます。

「組み合わせ」は、並べる順番は関係なしで考えます。

  • ABCの場合
  • BCAの場合

は、同じポスターを選んでいるのですから、これは2通りあるのではなくて、1通りと考えます。

組み合わせの記号

$n$個のものから、$r個$を取るときの組み合わせは、記号では、

$$_n C _r$$

と表します。

※英語で「Combination(コンビネーション)」というので、その頭文字の$C$です。

5個のものから3個のものをとる組み合わせの数は、

$$_5 C _3$$

と表します。

組み合わせの計算

組み合わせの計算の考え方

さて、組み合わせの計算です。

5個のポスターから3個を選び出す順列は、60通りの選び方があるのですが、組み合わせの場合だと、順序は関係がないので、選んだもの自体は同じだけど順序が違うだけのものは、除外して考えます。

並び順が違うだけであれば、それが2つあっても、3つあっても、1つとしてカウントしてしまいます。

重複したものを除外するときにどうすればいいのかというと、順列の並べ方の数を、「$r!$」で割ってやると、計算ができるのです。

$n$個のものから$r$個をとる「順列」の計算式はこうでした。

$$_n P _r=\frac{n!}{(n-r)!}$$

$n$個のものから$r$個をとる「組み合わせ」の計算式は、次のようになります。

$$_n C _r=\frac{n!}{(n-r)!}÷r!$$

$$=\frac{n!}{(n-r)!\times r!}$$

ポスターを選ぶときの例題を考えてみます。

さきほどの例題からポスターの枚数を減らして、A・B・C・Dの4つのポスターから2つを選びだすときのことを考えてみましょう。

まず、「順列」を計算してみます。

$$_n P _r=\frac{n!}{(n-r)!}$$

$$_4 P _2=\frac{4!}{(4-2)!}$$

$$=\frac{4\times3\times2\times1}{(2\times1)}$$

$$=4\times3$$

$$=12$$

12通りになりました。実際に書き出してみると、

  1. AB
  2. AC
  3. AD
  4. BA
  5. BC
  6. BD
  7. CA
  8. CB
  9. CD
  10. DA
  11. DB
  12. DC

となります。

ひとつめにAを選んだときに、次に選ばれるのは、A以外のB・C・Dの3つです。ひとつめにBを選んだときに、次に選ばれるのは、B以外のA・C・Dの3つです。

ひとつめに選ばれるのは4パターン、次に選ばれるのは3パターンありますから、それを掛け算する方法でも、順列は計算できます。

4×3=12

12通りです。

この12通りのうち、重複しているものはというと、

  • AB → BA と同じ
  • AC → CA と同じ
  • AD → DA と同じ
  • BC → CB と同じ
  • BD → DB と同じ
  • CD → DC と同じ

の6通りあります。

重複したものを除外して考えると、

12-6=6

12通りあったものが、6通りになりますね。

順列を「r!」で割る理由

順列の12通りから重複したものを除外した、組み合わせの数は、6通りになりました。

これは、順列の12通りを「$r!$」で割った数と一致しています。

$_n P _r$が順列の計算しきで、4個のものから2つのものをとる順列は、$_4 P _2$ 。$r!$ は 2!=2 です。

12通りを$r!$ で割れば、

12÷2=6

となりますね。

順列の数を $r!$ で割るのは、重複したものをちょうど除外する効果があるのです。

組み合わせの計算式

$n$個のものから、$r$個を取るときの順列と組み合わせを比較すると、

順列$_n P _r$を、$r!$で割ったものが、組み合わせ$_n C _r$になります。

つまり、組み合わせは、

$$_n C _r=\frac{_n P _r}{r!}$$

です。

順列は、$_n P _r=\frac{n!}{(n-r)!}$ ですから、

$$ _n C _r=\frac{_n P _r}{r!}$$

$$=\frac{n!}{(n-r)!}÷r!$$

$$=\frac{n!}{(n-r)!\times r!}$$

となります。

A・B・C・Dの4つのポスターから2つを選びだす組み合わせは、何通りあるかを数式で計算するとこうなります。

$$_n C _r=\frac{n!}{(n-r)!\times r!}$$

$$_4 C _2=\frac{4!}{(4-2)!\times 2!}$$

$$=\frac{4\times3\times2\times1}{(2\times1)\times(2\times1)}$$

$$=\frac{24}{4}$$

$$=6$$

4個のものから2個をとる組み合わせは、6通りとなります。

簡単に計算できるやり方としては、$n$から$r$個分、数字を減らしていきながら掛け算をして順列を計算し、その後 $r!$ で割ればいいでしょう。

$n$=4、$r$=2、としたら、4から2個分掛け合わせるので、順列は4×3=12です。

そして $r!$ で割ればいいので、12÷2!=6となります。

実際に計算するときには、エクセルのCOMBIN関数や、関数電卓などをつかうとよいでしょう。

参考:エクセルの COMBIN 関数で組み合わせの数を計算する

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コメント

  1. 匿名 より:

    LaTex使った方がいいですね…

    • tou より:

      コメント・ご指摘ありがとうございます。LaTex…調べて見てみます。