条件付き確率の問題。子ども二人のうち一方が男の子であるときに、もう一方が男の子である確率

日常生活に関することで確率を考えてみると、私たちの感覚とはズレが生じるものは少なくありません。

直観的にこのくらいの確率で起こるだろうと思ったことが、計算すると実は違っているということがあります。

条件付き確率もそのひとつです。

直観とは確率がずれる、条件付き確率の問題を考えてみます。

子ども二人のうち、一方は男の子であるときに、もう一方が男の子である確率

「ある家庭に子どもが二人います。そのうちのどちらか一方は男の子であるときに、もう一方が男の子である確率は?」

直観的には、1/2と思ってしまいますが、実は、1/3が正しい答えです。

便宜的に年上、年下で男の子なのか、女の子なのかを考えてみると、次の4つのパターンがあります。

年上 年下
パターン1
パターン2
パターン3
パターン4

問いは、「ある家庭に子どもが二人います。そのうちのどちらか一方は男の子であるときに、もう一方が男の子である確率は?」でした。

まず、パターン4の{女・女}のパターンは除外されます。

そして、二人の子供のうち、どちらか一方が男の子なのは、

・パターン1.{男・男}

・パターン2.{男・女}

・パターン3.{女・男}

で、この三つのパターンです。

パターン1.{男・男}では、最初に「どちらか一方の男の子」を指定するのは、年上と年下のどちらを指定してもいいです。仮に年上の男の子を指定したとしたら、もう一方の年下の子供は男の子となりますね。

パターン2.{男・女}では、一方の男の子ですが、もう一方は女の子になります。

パターン3.{女・男}でも、同じく一方の男の子ですが、もう一方は女の子になります。

「どちらか一方は男の子であるときに…」の条件にあてはまるのが、三つのパターンであって、このうち「もう一方が男の子」であるのは、

・パターン1.{男・男}

のみです。

三つのパターン中、一つのパターンがありますから、

「ある家庭に子どもが二人います。そのうちのどちらか一方は男の子であるときに、もう一方が男の子である確率は?」

1/3となります。

上の子供が男の子であると固定すると確率が変わる

上記の問いでは、一方の男の子を選ぶときに、年上を選んでも、年下を選んでもよかったのですが、今度は指定してみたらどうなるでしょうか。

「ある家庭に子どもが2人います。そのうちの上の子供が男の子であるときに、下の子供が男の子である確率は?」

年上 年下
パターン1
パターン2
パターン3
パターン4

この四つのパターンのうち、上の子供が男の子なのは、二つのパターンのみです。

・パターン1.{男・男}

・パターン2.{男・女}

「上の子供が男の子であるときに…」の条件にあるのがこの二つのパターンです。

このうち、下の子供も男の子なのは、

パターン1.{男・男}

だけです。よって、1/2の確率になります。

上の子供は男の子と固定されていて、あとは、下の子だけの問題ですから、単純に二人目に生まれた子が男の子である確率を考えれば、1/2ですよね。この問題は、人の直観と一致します。

条件付き確率の計算方法

上記の子供の性別の例のように、ある条件が与えられた場合には、確率が変化することがります。

これを「条件付き確率」といい、次の公式が成り立ちます。

$$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$

P(A|B)は、Bの条件のもとでAが起きる確率を表しています。

この公式をつかって、「ある家庭に子どもが二人います。そのうちのどちらか一方は男の子であるときに、もう一方が男の子である確率は?」の問いの答えを考えてみましょう。

  • 一方の子供が男の子であることをB
  • もう一方の子供が男の子であることをA

としたら、P(B)とはBが起きる確率のこと、P(A)とはAが起きる確率のこと、P(A∩B)はAとBの両方が起きる確率を表します。

P(B)は、一方の子供が男の子である確率ですから、四つのパターンで見たように、3/4となります。

年上 年下
パターン1
パターン2
パターン3
パターン4

P(A∩B)は、一方の子供が男であり、かつ、もう一方の子供が男である確率、つまり二人の子供が両方とも男である確率なので、1/4となります。

ですから、これを数式に当てはめると、

$$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$

$$=\frac{1/4}{3/4}$$

$$=\frac{1}{3}$$

どちらか一方は男の子であるというBの条件のもとで、もう一方が男の子である確率Aは、1/3と計算できます。

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