平均値と分散を持つ2つのものがあったときに、それらを合わせたものの分散は、それぞれの分散を足し合わせた値になります。このことを「分散の加法性」といいます。
2つの確率変数XとYがあって、XとYが独立であるときには、XとYを合わせたものの分散は、X＋Yとなるのです。また、XからYを引いたものの分散も同じくX＋Yとなります。
$$V（X±Y） ＝ V（X） ＋ V（Y）$$
が成り立ちます。
※ちなみに期待値については、
$$E（X＋Y） ＝ E（X） ＋ E（Y）$$
が成り立ちます。
部品を合わせてつくる製品の寸法のばらつき
たとえば、部品A、部品Bの2つの部品を組み合わせて製品をつくる場合、完成品の長さの分散は、「部品Aの分散」と「部品Bの分散」を足し合わせた数値になります。どの部品Aが選ばれるか、どの部品Bが選ばれるかは互いに影響を与えず、独立していなければなりません。
- 部品Aの分散は、σ2A
- 部品B分散は、σ2B
であるとしたら、完成品の分散 σ2 の計算式は、
| σ2 ＝ σ2A ＋ σ2B |
となります。
次の2つの部品をくっつけて作る製作物があったとします。完成品の長さとそのばらつきは、どのようになるのか見てみましょう。となります。
- 部品A……長さ平均20mm、分散1mm
- 部品Ｂ……長さ平均30mm、分散1mm
このような部品があります。
部品AとBを組み合わせたものの長さの平均は、
| 完成品の平均 ＝ 部品Aの平均 ＋ 部品Bの平均 |
20mm ＋ 30mm ＝ 50mmの式で計算できます。
となります。
分散の計算式は、
| 完成品の分散 σ2 ＝ 部品Aの分散 ＋ 部品Bの分散 |
ですから、
完成品の分散σ2 ＝ 1 ＋ 1 ＝ 2
完成品の分散は2mmで、正の平方根をとる標準偏差は√2です。
標準偏差σ＝ 1.4mm
となります。
完成品は、平均の長さが50mmで、標準偏差は1.4mmになります。
ただし、分散の加法性が成り立つのは、「部品Aの分散」が正規分布をしていて、「部品Bの分散」も同じく正規分布をしているときです。正規分布しているなかから、ランダムに部品が選ばれたときです。
複数の製品をまとめたときの重量のばらつき
複数の製品をまとめたときの重量について考えてみましょう。これも分散の加法性がつかえるのですね。
|
製品複数個の重量の分散σ2 ＝ 1個目のσ2 ＋ 2個目のσ2 ＋ ｎ個目のσ2 ＝σ2 × 個数ｎ |
となります。
1個の重さが平均50ｇで、分散が4ｇ、標準偏差が2ｇの製品があったとしましょう。
この製品を6個をケースに入れてまとめると重量の平均と分散はどうなるのか。当然のながら、重量の平均は50ｇが6個なので、平均300ｇになります。（ケースの重さは除いて考えています。）
300ｇである製品を6個全体のばらつき（分散）はどうなるかというと、製品それぞれの分散を足し合わせればいいのですから、
4ｇ＋4ｇ＋4ｇ＋4ｇ＋4ｇ＋4ｇ ＝ 24ｇ
6個をまとめたケースの分散は、24ｇになるのです。標準偏差は、√24 = 4.9ｇになります。
このように、分散の加法性を活用すれば、あるものとあるものを合わせたときの分散がどうなるのか、計算することができます。
差の分散も加法性が成り立つ
また、あるものからあるものを引いたときにも、分散の加法性が成り立ちます。
たとえば、ここにあるリンゴの山があり、
- リンゴの重さ平均300ｇ、分散10ｇ
の正規分布にしたがっているとします。
リンゴの山からリンゴを2つ取りだしたときに、その2つのリンゴの重量差の分布はどうなるのか？を考えます。ひとつめに取りだしたリンゴの重量から、ふたつ目に取りだしたリンゴの重量を引くことにしましょう。これを繰り返します。
あるときは、たまたまひとつめのリンゴが重いかもしれませんし、軽いかもしれません。でも、2つ取りだしてリンゴ2個の重量の差を計測することを繰り返していれば、2つのリンゴの重量差は、平均的には0となるでしょう。
で、分散はどうなるかというと、ここでも分散の加法性が成り立ちます。
2つのリンゴの重量差は、平均0ｇ、分散20ｇ
となるのです。
また次のようなことでも考えることができます。
部品Aに穴をあけるとします。部品Aの長さは正規分布をしていて、穴の深さも作業に多少の誤差が発生して、穴の深さは正規分布しているものとしましょう。
- 部品A……長さ平均20mm、分散1mm
- 穴……深さ平均10mm、分散1mm
穴の底から部品Aの反対面までの長さはどうなるのか？穴を掘って残った部分の長さですね。
残り部分の平均 ＝ 部品Aの平均 － 穴の平均
で計算できます。
20mm － 10mm ＝ 10mm
となります。
分散の計算式は、
残りの部分の分散σ2 ＝ 部品Aの分散 ＋ 穴の分散
ですから、
分散 σ2 ＝ 1 ＋ 1 ＝ 2
正の平方根をとる標準偏差は√2 ＝ 1.4mm となります。
穴を掘って残った部分の長さは、平均10ｍｍ、分散2ｍｍ の正規分布にしたがいます。平均の差であっても、分散は広がっていきます。