平均値の種類はひとつだけじゃない。算術平均、加重平均、幾何平均、移動平均の違いと使い分け




平均というと、各データを足し合わせてデータ数で割って計算する平均値が浮かんできます。平均身長やら、平均得点やら、いたるところで目にしますよね。

これは、正確には算術平均といいます。

私たちが見たり使ったりする平均は、この算術平均の場合が多いですが、実は、平均には他にいくつかの種類があります。

算術平均のほかに、「加重平均」、「幾何平均」、「移動平均」などがあり、場合によっては、算術平均ではなくて、他の平均を使うほうが正しいことがあります。

この記事は、「算術平均」、「加重平均」、「幾何平均」、「移動平均」の違いと使い分けについて書きました。

算術平均(相加平均)(average)の意味と計算方法

算術平均とは、個々のデータを全て足し合わせて、データの総数で割ったものです。相加平均ともいいます。

x と y の算術平均の計算式は、次のとおりです。

$$\bar{x}=\frac{x_1+x_2}{2}$$

データxが5個ある場合は、

$$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}{5}$$

または、

$$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{5}x_i$$

データxがn個あるとしたら、

$$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+…+x_n}{n}$$

または、

$$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$$

このような計算式となります。

身の回りで最もよく使われる平均値で、一般的に「平均」といえば算術平均のことを指します。

日本人の平均身長・平均体重、クラスの平均テスト得点、月の平均気温など、いたるところでつかわれていますよね。

下記の記事で、平均値の特徴を説明しています。

参考:代表値とは?平均値、中央値、最頻値の違いと使い分けを紹介

加重平均(weighted mean)の意味と計算方法

それぞれのデータに重みづけをして計算する平均値です。

データx1、x2、x3、それぞれの重みがw1、w2、w3 とすると、加重平均の計算式は次のとおりです。

$$x_w=\frac{w_1x_1+w_2x_2+w_3x_3}{w_1+w_2+w_3}$$

または、

$$x_w=\frac{w_1x_1}{w_1+w_2+w_3}+\frac{w_2x_2}{w_1+w_2+w_3}+\frac{w_3x_3}{w_1+w_2+w_3}$$

データxがn個、それぞれの重みwもn個分あるとしたら、

$$x_w=\frac{w_1x_1+w_2x_2+…+w_nx_n}{w_1+w_2+…+w_n}$$

または、

$$x_w=\frac{w_1x_1}{w_1+…+w_n}+\frac{w_2x_2}{w_1+…+w_n}+…+\frac{w_nx_n}{w_1+…+w_n}$$

となります。

ここで、とある2つの会社、「A会社」、「B会社」の2つの会社の給料の平均値を考えてみましょう。

  • A社の平均年収・・・400万円
  • B社の平均年収・・・500万円

であった場合に、この2社の平均年収の間をとって

「平均年収は450万円である!」

と、するのは算術平均ですよね。カンタンに計算できます。

しかし、この2社の従業員数に違いがあり、従業員数を考慮して平均を計算する場合には、重み付けをして平均を計算しなくてはいけません。これが加重平均です。

仮の話ですが、日本にはこのA会社とB会社しか存在しないとしましょう。そして、A社の従業員数が900人で、B社の従業員数が100人で、計で1000人あるとします。

ここで、日本の平均年収を計算するならば、加重平均をつかいます。

  • 日本の人口は1000人
  • A社は1000人中の900人がいる
  • B社は1000人中の100人がいる

なわけです。A社は900/1000、B社は100/1000の重みづけをすることができます。

A社のほうが9倍重いものであると捉えて、それぞれの会社の平均年収に、この重みをかけるわけです。そして、それらの結果を足し合わせれば、加重平均が求められます。

$$400\times(900/1000)=360$$

$$500\times(100/1000)=50$$

360と50を足し合わせて計410万円です。これがそれぞれの会社の従業員数を加味した加重平均値です。

そして、日本にはこのA会社とB会社しかなければ、日本の平均年収となります。

※これは、1000人の年収を個別に見て、すべて足し合わせて1000 で割った数値と同じになります。

参考:加重平均の意味と計算方法

幾何平均(geometric mean)の意味と計算方法

幾何平均とは、データを全てかけ合わせて、データ個数でルートを開いたもので、相乗平均ともいいます。

10と20の二つのデータの幾何平均の計算式は、次のとおりです。

$$x_G=\sqrt[2]{10\times20}$$

10、20、30の三つのデータの幾何平均は、

$$x_G=\sqrt[3]{10\times20\times30}$$

n個のデータの幾何平均は、

$$x_G=\sqrt[n]{x_1\times x_2\times…\times x_n}$$

となります。

変化率で表されるデータの場合に用いる代表値は幾何平均が望ましいです。

伸び率等の比率(%)データがそうですね。平均を出す場合には幾何平均を使用します。

参考:幾何平均(相乗平均)の意味と計算方法~伸び率の平均を調べる~

移動平均(moving average)の意味と計算方法

移動平均は、変化しているデータにつかうもので、ある期間のデータの和をデータ個数で割ったものです。

基準のデータをx とし、前後k期間ずつデータを使用すると、移動平均の計算式は次のとおりです。

$$y_t=\frac{1}{2k+1}(x_{t-k}+…+x_t+…x_{t+k})$$

日々の最高気温、5日分の移動平均をとるとしたら、基準の日をx として、その ±2日分をつかって計算します。

$$y_t=\frac{1}{5}(x_{t-2}+x_{t-1}+x_t+x_{t+1}+x_{t+2})$$

時系列データにおいて、どのような推移なのかを見るとき、今後の傾向を確認したいときに活用されます。

参考:移動平均で時系列データの推移を読み取る

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