数学において、数式の足し算の順番を変えたり、掛け算の順番を変えたりしても、同じ結果になるという法則があります。
この記事では、
- 交換法則
- 結合法則
- 分配法則
について、説明していきます。
統計学を学んでいると数式が出てきますが、数学の基礎的な法則を知っておかないと、「なんのこっちゃわからない」と思う場面に遭遇してしまいます。
挙げる例は簡単なものではありますが、数学の法則を知っておくと、数式を読み解くことがしやすくなります。
交換法則
足し算と掛け算は、順番を逆にしてもよい、という法則です。
3＋4＋5 ＝ 5＋4＋3
3×4×5 ＝ 5×4×3
この式が成り立ちます。
- 足し算の交換の場合は、加法の交換法則
- 掛け算の交換の場合は、乗法の交換法則
と呼ばれます。
3＋4＋5であっても、5＋4＋3であっても、いずれも合計値は12 となり、同じ結果です。
3×4×5であっても、5×4×3であっても、同じ結果になります。これの何がよいかというと計算の順番を操作できるという点です。
たとえば、
30,000×4×5
といった計算式があった場合に、最初に大きな桁から計算するとやりにくいです。
30,000×4＝120,000
120,000×5＝・・・
と、桁が多い数値を使って2回掛け算することになります。しかし、順番を変えて、
4×5×30,000
の順番で計算すれば、まずは、
4×5＝20
と計算して、
20×30,000
と計算すればいいので、
一の位がゼロになるので、わかりやすく計算もしやすくなります。交換の法則に基づいて、順序を入れ替えて、自分が計算しやすいようにできるのです。
結合法則
足し算、または掛け算であれば、どの部分を先に計算してもよいという法則です。
（3＋4）＋5＝3＋（4＋5）
（3×4）×5＝3×（4×5）
これは、順番が変わってもいいという交換法則が成り立つのですから、結合法則も成り立つことがわかります。
（3＋4）＋5＝12
3＋（4＋5）＝12
いずれにしても計算の結果は12となります。
（3×4）×5 ＝ 60
3×（4×5）＝ 60
どちらとも計算の結果は、60となります。
分配法則
足し算と掛け算が一緒に登場するときの法則です。
3×（4＋5）＝ 3×4 ＋ 3×5
3×（4－5）＝ 3×4 － 3×5
掛けてから足し算しても、足してから掛け算してもよく、掛けてから引き算しても、引いてから掛け算してもOKです。これが分配法則です。
3×（4＋5）＝ 27
3×4 ＋ 3×5 ＝ 27
と同じ結果となりました。
引き算や割り算では、交換法則と結合法則は使えない
ところで、引き算や割り算の場合は、交換法則、結合法則は成り立ちません。
結合法則・・・30－4－5 ≠ 5－4－30
交換法則・・・30－（4－5）≠（30－4）－5
引き算の場合
計算の結果は変わってしまいます。交換法則では、
30－4－5 ＝ 24
5－4－30＝ －29
となり、異なる結果となります。また、結合法則では、
（30－4）－5 ＝ 24
30－（4－5）＝ 31
と、異なる計算結果になってしまいますから、引き算や割り算をするときには、交換法則、血同法則は使えません。
でも、引き算を、マイナスの値の足し算として考えるのであるのであれば、法則は成り立ちます。引き算とは負の足し算ですから、法則に基づいて式を扱うことができるようになるのです。
3＋（－4）＋（－5）＝（－5）＋（－4）－3
3＋［（－4）＋（－5）] ＝ [ 3＋（－4））] ＋（－5）
これであれば成り立ちます。交換法則では、
3＋（－4）＋（－5）＝－6
（－5）＋（－4）＋3＝－6
と、同じ結果となりますし、結合法則でも
3＋[（－4）＋（－5）] ＝ －6
[ 3＋（－4）] ＋（－5）＝ －6
となり、同じ計算結果となります。4を引くことを、－4を足すということに置き換えるのです。
割り算の場合
割り算の場合も同様です。割り算の場合は、交換法則、結合法則が成り立ちません。
5÷4÷3 ≠ 3÷4÷5
（5÷4）÷3 ≠ 3÷（4÷5）
当たり前ですが、交換法則では、
5÷4÷3 ＝ 0.416
3÷4÷5 ＝ 0.15
という異なる結果となります。結合法則でも
（5÷4）÷3 ＝ 0.416
3÷（4÷5）＝ 3.75
と、異なる結果になります。
しかし、割り算を分数の掛け算に直してやれば、交換法則、結合法則が成り立つようになります。割り算とは、分数で表した逆数の掛け算です。
法則に基づいて式を扱うことができるようになるのです。
5×（1/4）×（1/3）＝（1/3）×（1/4）×5
[（5×（1/4）] × 1/3 ＝ 5 × [（1/4）×（1/3）]
これで式が成り立ちます。
交換法則では、
5×（1/4）×（1/3）＝0.416
（1/3）×（1/4）×5＝0.416
と同じ結果となりました。
結合法則でも、
[（5×1/4）] × 1/3 ＝ 0.416
5 × [（1/4×1/3）] ＝ 0.416
となります。
数学法則について把握しておく
統計学の分析方法など、数式で説明するときに、数学の法則が使われることが多々あります。統計学の教科書ではそういった法則について、説明されることはほとんどありません。
数学の法則については、別途学んでおくと、統計学を学ぶときのつまづきが少なくなるでしょう。