統計学を学ぶ前に知っておきたい交換法則、結合法則、分配法則の意味

数学において、数式の足し算の順番を変えたり、掛け算の順番を変えたりしても、同じ結果になるという法則があります。

この記事では、

  • 交換法則
  • 結合法則
  • 分配法則

について、説明していきます。

統計学を学んでいると数式が出てきますが、数学の基礎的な法則を知っておかないと、「なんのこっちゃわからない」と思う場面に遭遇してしまいます。

挙げる例は簡単なものではありますが、数学の法則を知っておくと、数式を読み解くことがしやすくなります。

交換法則

足し算と掛け算は、順番を逆にしてもよい、という法則です。

3+4+5 = 5+4+3

3×4×5 = 5×4×3

この式が成り立ちます。

  • 足し算の交換の場合は、加法の交換法則
  • 掛け算の交換の場合は、乗法の交換法則

と呼ばれます。

3+4+5であっても、5+4+3であっても、いずれも合計値は12 となり、同じ結果です。

3×4×5であっても、5×4×3であっても、同じ結果になります。これの何がよいかというと計算の順番を操作できるという点です。

たとえば、

30,000×4×5

といった計算式があった場合に、最初に大きな桁から計算するとやりにくいです。

30,000×4=120,000

120,000×5=・・・

と、桁が多い数値を使って2回掛け算することになります。しかし、順番を変えて、

4×5×30,000

の順番で計算すれば、まずは、

4×5=20

と計算して、

20×30,000

と計算すればいいので、

一の位がゼロになるので、わかりやすく計算もしやすくなります。交換の法則に基づいて、順序を入れ替えて、自分が計算しやすいようにできるのです。

結合法則

足し算、または掛け算であれば、どの部分を先に計算してもよいという法則です。

(3+4)+5=3+(4+5)

(3×4)×5=3×(4×5)

これは、順番が変わってもいいという交換法則が成り立つのですから、結合法則も成り立つことがわかります。

(3+4)+5=12

3+(4+5)=12

いずれにしても計算の結果は12となります。

(3×4)×5 = 60

3×(4×5)= 60

どちらとも計算の結果は、60となります。

分配法則

足し算と掛け算が一緒に登場するときの法則です。

3×(4+5)= 3×4 + 3×5

3×(4-5)= 3×4 - 3×5

掛けてから足し算しても、足してから掛け算してもよく、掛けてから引き算しても、引いてから掛け算してもOKです。これが分配法則です。

3×(4+5)= 27

3×4 + 3×5 = 27

と同じ結果となりました。

引き算や割り算では、交換法則と結合法則は使えない

ところで、引き算や割り算の場合は、交換法則、結合法則は成り立ちません。

結合法則・・・30-4-5 ≠ 5-4-30

交換法則・・・30-(4-5)≠(30-4)-5

計算の結果は変わってしまいます。交換法則では、

30-4-5 = 24

5-4-30= -29

となり、異なる結果となります。また、結合法則では、

(30-4)-5 = 24

30-(4-5)= 31

と、異なる計算結果になってしまいますから、引き算や割り算をするときには、交換法則、血同法則は使えません。

でも、引き算を、マイナスの値の足し算として考えるのであるのであれば、法則は成り立ちます。引き算とは負の足し算ですから、法則に基づいて式を扱うことができるようになるのです。

3+(-4)+(-5)=(-5)+(-4)-3

3+[(-4)+(-5)] = [ 3+(-4))] +(-5)

これであれば成り立ちます。交換法則では、

3+(-4)+(-5)=-6

(-5)+(-4)-3=-6

と、同じ結果となりますし、結合法則でも

3+[(-4)+(-5)] = -6

[ 3+(-4)] +(-5)= -6

となり、同じ計算結果となります。4を引くことを、-4を足すということに置き換えるのです。

割り算の場合も同様です。割り算の場合は、交換法則、結合法則が成り立ちません。

5÷4÷3 ≠ 3÷4÷5

(5÷4)÷3 ≠ 3÷(4÷5)

当たり前ですが、交換法則では、

5÷4÷3 = 0.416

3÷4÷5 = 0.15

という異なる結果となります。結合法則でも

(5÷4)÷3 = 0.416

3÷(4÷5)= 3.75

となります。

しかし、割り算を分数の掛け算に直してやれば、交換法則、結合法則が成り立つようになります。割り算とは、分数で表した逆数の掛け算です。

法則に基づいて式を扱うことができるようになるのです。

5×(1/4)×(1/3)=(1/3)×(1/4)×5

[(5×(1/4)] × 1/3 = 5 × [(1/4)×(1/3)]

これで式が成り立ちます。

交換法則では、

5×(1/4)×(1/3)=0.416

(1/3)×(1/4)×5=0.416

と同じ結果となりました。

結合法則でも、

[(5×1/4)] × 1/3 = 0.416

5 × [(1/4×1/3)] = 0.416

となります。

数学法則について把握しておく

統計学の分析方法など、数式で説明するときに、数学の法則が使われることが多々あります。統計学の教科書ではそういった法則について、説明されることはほとんどありません。数学の法則については、別途学んでおくと、統計学を学ぶときのつまづきが少なくなるでしょう。

フォローする