期待値の意味
期待値とは確率変数の値を、確率による重みを付けて平均した値です。簡単にいうと、色々な値をとる確率変数の平均値です。
なんども試行を続けた際の、1回あたりの平均値となります。
ジャンケンをして買った方が100円もらえるゲームについて考えてみましょう。平均的には、どのくらいの金額が手に入りそうでしょうか。この数値が期待値です。言い方を変えて予測値といってもよい気がします。
- あなたが買ったらもらえる金額は、100円です。
- あなたが負けたら支払う金額は、100円です。
つまり
- 1/2の確率で、＋100円
- 1/2の確率で、－100円
となります。
＋100円に1/2の重み付けをすると、＋50円になります。
－100円に1/2の重み付けをすると、－50円になります。
これを平均すると、0円です。このジャンケンゲームの期待値は0円となります。
期待値の計算方法
次に、サイコロで考えてみましょう。サイコロを振ったときに出る目は数字は、どのくらいになると期待できるでしょうか。6になる場合もあれば、1になる場合もあります。どのくらいになると期待できるか？というのは、平均的にはどうなるか？ということです。
1、2、3、4、5、6の目が出る確率は、それぞれ1/6で、各目には1/6ずつの重みがあります。計算方法としては、各数値に確率1/6を掛け合わせたものを足し合わせます。
■各数値に1/6を掛ける
- 1の目 確率1/6 → 1×1/6＝1/6
- 2の目 確率1/6 → 2×1/6＝2/6
- 3の目 確率1/6 → 3×1/6＝3/6
- 4の目 確率1/6 → 4×1/6＝4/6
- 5の目 確率1/6 → 5×1/6＝5/6
- 6の目 確率1/6 → 6×1/6＝6/6
■それらを合計する
1/6＋2/6＋3/6＋4/6＋5/6＋6/6
＝ 21/6
＝ 3.5
サイコロの出る目、1回あたりの平均値は3.5となります。これが期待値です。一番小さい1の目が出たり、一番大きい6の目が出たりすれば、期待値の3.5からは離れていますが、何度もサイコロを振って出てくる目を記録していくと、平均的には3.5となるわけです。
また別の計算方法として、出る目すべてを足し合わせて、その個数で割る方法があります。
（1＋2＋3＋4＋5＋6）÷6
＝ 3.5
同じ結果になります。
どちらを選べばよいか期待値で計算ができる
確率で結果が変わるようなものごとがあった場合、どちらを選べばいいのか計算して考えることができます。
家族の大黒柱・お父さんであるあなたは、子供毎月に2000円お小遣いをあげています。今月のお小遣いをあげるときになって、子供はこんなことを言い出しました。
「ジャンケンをして、お父さんが勝ったらお小遣いは1500円でいいから、僕が買ったら3000円にのお小遣いをくれない？」
さて、この提案にのっていいものかどうか。
まずジャンケンの勝敗の確率は、出す手にクセがあってそれを見抜かれているような場合でない限り、勝つ確率1/2、負ける確率1/2ですから、勝率は1/2で考えることにします。3000円に対して1/2、1500円に対して1/2の重みづけをします。
3000×1/2 ＝ 1500
1500×1/2 ＝ 750
その結果を足し合わせます。
1500＋750 ＝ 2250
期待値は2250円となりました。
最初にたまたま連勝して2000円より安い、1500円のお小遣いをあげることが続いたとしても、このジャンケンを繰り返すほど、それまであげた1回あたりのお小遣いの平均は期待値に近づいていきますから、結果として毎月2250円をお小遣いをあげるのと同じことになります。
それだと、もともとの金額、2000円よりも250円多くあげていることになりますから、まだお小遣いを増やしたくないのであれば、この提案にはのらないほうがよさそうです。子供もなかなか考えていますね。