重複順列の意味と計算方法(順列との違いを説明)

重複順列とは、選び出すときに、繰り返し選ぶことができる順列です

重複順列の前に、順列について簡単に説明します。

順列とは

順列とは、n個の中からr個のものを選んだ並べ方のことです。たとえば、5人の人から、3人の人を選んで順番に並べるときのことを例としてみます。

一人目を選ぶときには、5人の中で誰でもいいのですから、5通りの選び方があります。

二人目を選ぶときには、最初に選んだ1人が減り、残った4人の中から選びますから、4通りの選び方があります。

最後に、三人目を選ぶときには、残りの3人の中から選びますので、3通りの選び方があります。

  • 1回目の選択が5通り
  • 2回目の選択が4通り
  • 3回目の選択が3通り

となると、

5×4×3 = 60通り

60通りの選び方があることになります。n個の中からr個のものを選んだ並べ方を記号で、

$$_n P _r$$

と表します。計算式は、

$$_n P _r=\frac{n!}{(n-r)!}$$

です。

5人から3人を選んで並べるときには、

$$_5 P _3=\frac{5!}{(5-3)!}$$

$$=60$$

60 通り、となります。

参考:順列の基本と計算方法

重複順列の意味(順列との違い)

上記した順列の例では、5人の中から誰かを選んで並べましたから、1回選んだ人は次には選べなくなりました。

重複順列では、選びたすときに一度選んだものであっても繰り返し選ぶことができます。

重複順列とは、選び出すときに、繰り返し選ぶことができる順列です。

重複順列の計算式

n個の異なるものから、重複を許可してr個取りだして並べるときの数は、$n$を$r$個かけていくことで計算できます。

$n^r$ 通り

となります。

重複順列では、その名前のとおり、重複して(繰り返して)選ぶことができるときに、その選び方が何通りになるかを問題にしています。

たとえば、3個の異なるものから、重複を許可して3個取りだして並べるなら、一回目は3個から取りだす、二回目も3個のなかから取り出す、三回目も3個のなかから取り出す…となるのですから、取りだして何通りになるかは、3×3×3=27通りです。

それぞれの回で選択できる数を掛け算すればよいので、$n^r$ 通り、となるのです。

重複順列の計算

2つほど、例題をつかって考えてみます。

例題)サイコロを2回振って出る目は何通りあるか

1 から6 の目があるサイコロを2回振って、一回目、二回目で何の目のが出るのか?を考えてみます。

(あるいは、1~6 の数字があって、そこから2つの数字を繰り返しOKとして選んで並べる、とも考えるでもいいです。)

これは、6個のものから、2つ選ぶ重複順列として考えることができます。

一回目に出る目は 1~6 です。同じく、二回目に出る目は 1~6 です。

一回目は1の目、二回目は 1の目が出た場合、(1, 1)

一回目は1の目、二回目は 2の目が出た場合、(1, 2)

と表すことにして、すべてを羅列すると、

(1, 1)(1, 2)(1, 3)(1, 4)(1, 5)(1, 6)

(2, 1)(2, 2)(2, 3)(2, 4)(2, 5)(2, 6)

(3, 1)(3, 2)(3, 3)(3, 4)(3, 5)(3, 6)

(4, 1)(4, 2)(4, 3)(4, 4)(4, 5)(4, 6)

(5, 1)(5, 2)(5, 3)(5, 4)(5, 5)(5, 6)

(6, 1)(6, 2)(6, 3)(6, 4)(6, 5)(6, 6)

となります。

一回目に出る目は6パターンあり、一回目に出た目に対して、二回目に出る目は6パターンあるのですから、単純に、

6 × 6 = 36

と、36通りのパターンがあると計算できます。

重複縦列の計算式$n^r$ で考えれば、6個から2個を、重複を許可して並べるのですから、

$$n^r=6^2=36$$

となります。

例題)4つの数字を選ぶダイヤルロック

4つの数字によって、ダイヤルロックするタイプのロッカーってよくありますよね。

※このようなダイヤルロック

このダイヤルロックは、何パターンがあるのかを考えてみます。

各ダイヤルは 0~9 までを選ぶことができて、それが4ケタあるわけです。これは、10種類の数字を繰り返しを許して4つ並べる重複縦列と同じことと考えられますので、

$$n^r=10^4=10,000通り$$

と計算することができます。

まあ単純に0000 から9999 までの数字なので、10,000通りあるとわかりますが。

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