クジ引きの条件付き確率。先と後、どちらに引いたほうがいいのか

先に引いたほうがよさそう、後に引いたほうがよさそう?

クジ引きは先に引いたほうがいいのか、後に引いたほうがいいのか、どちらなのでしょうか。

先に引いたほうがいいのか、後に引いたほうがいいのか

箱の中に10個のクジが入っていて、そのうち2個が当たりです。これを2人で順番に1個ずつ引くとしましょう。10個のクジがあって一人目が1つのクジを引いたときにクジは戻さないものとします。

このときに先に引いたほうがいいのか、それとも後に引いたほうがいいのでしょうか。どちらのほうが当たりが出やすいのでしょうか。

10個のクジのうち2個しか当たりがないのですから、後から引いたほうがいいような気がします。

残りものには福があるともいいますし・・・。

二人目が当たりを引く確率を計算してみる

一人目は、10個のクジの中に2つの当たりがあるのですから、2/10 の確率で当たりクジを引くことができます。これはわかりやすいです。

しかし、二人目が当たりを引く確率は、一人目の結果によって変わってきます。10個のクジがあって一人目が1つのクジを引いたときにクジは戻さないのですから、一人目が当たりを引けば残りの当たりクジは少なくなりますから、当然ですよね。

二人目は2パターンが考えられます。一人目が当たりを引いた場合と、引かなかった場合ですね。

パターン1は、一人目が当たりを引いた場合です。二人目が引くときには、9個中1個の当たりクジになっています。このときには、一人目が当たりを引き、かつ、二人目も当たりを引くという条件付き確率を計算します。

P(A∩B)= P(B)× P(A|B)

一人目がクジを引くのがB、二人目がクジを引くのはBという条件付きのAという確率です。

  • 一人目が当たりクジを引く確率は、2/10の確率
  • そのうえので二人目が当たりを引く確率は、1/9 の確率

ですから、その両方が起こる確率(一人目当たり → 二人目当たり)は、

2/10 × 1/9 = 2/90 の確率となります。

パターン2は、一人目が当たりを引かずハズレクジを引いたのであれば、二人目が引くときには、2/9 の確率で当たりクジを引けます。

これも同様の計算をします。

  • 一人目がハズレクジを引く確率は、8/10の確率
  • そのうえで二人目が当たりクジを引く確率は、2/9の確率

ですから、その両方が起こる確率(一人目ハズレ → 二人目当たり)は、

8/10 × 2/9 = 16/90 の確率となります。

2つの事象があって、それらが排反事象であるとき、 2つの事象が起こる確率は、それぞれが起こる確率を足したものになります。 この2つのパターンは排反事象ですから、それぞれのパターンの確率を足し合わせれば、2回目に当たりを引く確率を計算できます。

加法定理

A∩B=φならば、 P(A∪B)=P(A)+P(B)

※A∩B=φ と表記します。φは空事象のことであり、決して起こらない事象のこと。

  • パターン1・・・ 2/90
  • パターン2・・・ 16/90

ですから、

2/90 + 16/90 = 18/90

=2/10

二人目が当たりクジを引く確率は、2/10であり、一人目と同じであるとわかりました。

クジを先に引こうが後に引こうが、有利・不利はありません。どんな順番で引いても、当たりクジを引く確率は同じになるのですね。

友人と一緒にクジ引きをすることがあってお、先にクジを引いたほうがいいのか、後のほうがいいのか悩む必要はないわけです。

下記記事もよろしければ参考にしてください。

確率の加法定理の2つの事象の場合、3つの事象の場合の記事で加法定理を説明しています。

また、条件付き確率について子供が男の子であるか女の子であるかの確率で考えるの記事では、条件付き確率について説明しています。

フォローする