ドモルガンの法則。かつ、またはを入れ替える例で説明

和事象 A∪B、積事象の A∩B について考えるときに、ド・モルガンの法則と呼ばれる式が成り立ちます。

ド・モルガンの法則

ドモルガンの法則は次の式です。

( A ∪ C ) = A∩ C

( A ∩ C ) = A∪ C

言葉で説明するとこうなります。

( A ∪ B ) = A∩ B・・・「AまたはBでない」は、「Aでない、かつ、Bでない」と同じである。

( A ∩ B ) = A∪ B・・・「AかつBでない」は、「Aでない、または、Bでない」と同じである、ということになります。

これらの二つの式は、∪ と ∩ を入れ替えただけです。

男性であるか学生であるかどうか

例として、男性であるか、学生であるかどうかの話をしましょう。

  • 男性で学生である
  • 男性で学生ではない
  • 女性で学生である
  • 女性で学生ではない

の4パターンがありますね。

( A ∪ B ) = A∩ B

「AまたはBでない」は、「Aでない、かつ、Bでない」です。

男性または学生である以外の人

=男性ではない、かつ、学生ではない人

(=女性、かつ、学生ではない人)

ベン図を描くとこのようになります。色塗り部分が該当します。

男性または学生である以外の人とは、男性は対象外、学生も対象外です。となると、女性で学生ではない人が該当します。

( A ∩ B ) = A∪ B

「AかつBでない」は、「Aでない、または、Bでない」です。

男性かつ学生である以外の人

=男性ではない、または、学生ではない人

(=女性、または、学生ではない人)

ベン図を描くとこのようになります。色塗り部分が該当します。

男性かつ学生である以外の人とは、男性かつ学生の両方である人が対象外となります。女性で学生の人、女性で学生ではない人、男性で学生ではない人、が該当します。

もうひとつ例を見てみましょう。

車とバイクを持っているかどうか

車とバイクを持っているかどうかをみると、

  • 車とバイクを持っている
  • 車は持っているが、バイクは持っていない
  • 車は持っていないが、バイクは持っている
  • 車とバイクを持っていない

の4パターンがあります。

( A ∪ B ) = A∩ B

「AまたはBでない」は、「Aでない、かつ、Bでない」です。

車またはバイクを持っている以外の人

=車を持っていない人、かつ、バイクを持っていない人

( A ∩ B ) = A∪ B

「AかつBでない」は、「Aでない、または、Bでない」です。

車とバイク両方を持っている以外の人

=車を持っていない人、または、バイクを持っていない人

となります。

命題を否定すると、「または」は「かつ」に変化し、「かつ」は「または」に変化します。