Σ(シグマ)を使った平均値の計算式

$\sum$をつかった平均値の計算式を表すと、

$$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$$

となります。

\(n\) は、データの個数のことです。

左式の\(x\) の上に横棒がある\(\bar{x}\)は「エックスバー」と読み、平均値のことです。 各データは\(x\) で表し、\(x\) の右下につけたられた\(i\) の文字は、何番目なのかを示していて、数字が入ります。

\(x_1\) は、1番目のデータを表します。

\(x_2\) は、2番目のデータを表します。

\(x_3\) は、3番目のデータを表します。

データの個数は\(n\) で表しますから、データの1番目から\(n\) 番目(最後のデータ)の合わせると足し算の式は、

$$x_1+x_2+x_3…x_n$$

となります。

平均値を計算するときには全データを足し合わせるので、数が多くなるほど長い式になってしまいます。このようなときに、式を省略させてすっきりさせることができるのが、\(\sum\) の記号です。

\(\sum\)は合計(sum)の意味で、足し算を繰り返して合計する式を簡単に表すための記号です。

\(\sum\)の記号の下にある「\(i=1\)」は、1番目から計算を始めることを示しています。「\(i=2\)」であれば2番目のデータから計算を開始し、「\(i=3\)」であれば3番目のデータから計算を開始します。\(\sum\)の記号の上にある「\(n\)」は、\(n\) 番目まで計算をすることを示しています。

1番目のデータから\(n\)番目までのデータを合計する数を書くと、

$$\sum_{i=1}^n x_i=x_1+x_2+x_3…+x_n$$

1番目のデータから5番目のデータを合計する式を書くと、

$$\sum_{i=1}^5 x_i=x_1+x_2+x_3+x_4+x_5$$

こうなります。

データを最初から最後まで足し合わせる場合は、\(\sum\)の下には「\(i=1\)」、\(\sum\)の上は「\(n\)」が書かれますが、これらは省略してもいいルールがあります。

何もない場合は、\(\sum\)の下は「\(i=1\)」、\(\sum\)の上は「\(n\)」として考えます。

$$\sum_{i=1}^n x_i=\sum x_i$$

$$\sum x_i=x_1+x_2+x_3…x_n$$

しかし、\(\sum\)の下が「\(i=1\)」、\(\sum\)の上が「\(n\)」である場合以外(最初から最後まで足し合わせる場合以外)は、\(\sum\)の上と下に数値を必ず記載しないといけません。

  • 最初から途中まで合計する場合
  • 途中から途中まで合計する場合
  • 途中から最後まで合計する場合

には、\(\sum\)の記号の上下にどこからどこまで計算するのかを書く必要があります。

たとえばこんな式です。

$$\sum_{i=3}^7 x_i=x_3+x_4+x_5+x_6+x_7$$

3番目のデータから7番目までのデータの合計です。この場合は省略はできません。

コメント

  1. 匿名 より:

    3番目が2番目になってます。

    • 統計学が わかった! tou より:

      ありがとうございます。ご指摘のとおり間違えておりました。修正させていだきました。

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