誕生日が一致する確率はどのくらいか

高校生の頃、自分の誕生日に学校の教室へ入ると「今日、誕生日だね」と仲の良い男友達に話かけられました。それを聞いていた隣の女の子が「今日誕生日なの?私も誕生日だよ!」と言うではないですか。同じ教室にまったく同じ誕生日の人がいて驚いていました。

社会人になって会社で仕事し始めてからも、誕生日の一致で驚くことがありました。ある先輩が、職場の他の人と同じ誕生日であったのです。そこは100数十人程度の事業所でした。先輩本人もビックリしていましたし、私や他の同僚もその話を聞いて、すごいと盛り上がっていましたね。

このような誕生日の一致は、どのくらいの確率で起こるものなのでしょうか。学校の同じクラスや同じ職場に誕生日が同じ日の人がいたら、偶然の一致に驚いてしまいますよね。

たしかに、自分と誰かの誕生日が一緒になる確率は、あまり大きくないのですが、学校の同じクラスのなかで、誰かと誰かが同じ誕生日になる確率は、さほど高いものではないのです。

自分と誰かの誕生日が同じ確率

学校の40人クラスのなかで、自分の誕生日と誰かの誕生日が同じ日になる確率を考えましょう。

1人目は、364/365 は自分と同じ誕生日ではありません。2人目も、364/365 は自分と同じ誕生日ではありません。

40人全員が自分と同じ誕生日でない確率は、

(364/365)×(364/365)×(364/365)・・・

と自分以外の人数分、39回掛け合わせた結果となります。0.8960 です。これが、40人クラスで、自分が他の39人と誕生日が異なる確率です。

そして、誰かと同じ誕生日になる確率は、1から 0.8960をマイナスすればいいわけですから、

1-0.8960=0.1039

10.39%の確率となります。

学校のクラスの人数をn とすると、

1-(364/365)n-1

で計算できます。

むかし、よく海外旅行をしていたことがあります。ホテルにチェックインするときには、パスポートの提出を求められます。とあるホテルで、受付の女性にパスポートを渡したときのことです。受付の人が私のパスポートを見て名前や国籍を確認するのですが、パスポートを開いたらいきなり笑い出しました。

「パスポートの私の顔を見て笑っているのか?」と心配になりましたが、笑った後に発した言葉は 「私も同じ誕生日だよ」でした。生年月日がまったく同じであったので笑い出してしまったとのことでした。

まあ、受付の人はパスポートに記載されている生年月日あたりも見るでしょうから、40のホテルに宿泊すれば、つまり40回パスポートを提出すれば、10%くらいの確率でこんなことがおきるということですね。

誰かと誰かの誕生日が同じ確率

では、学校の40人クラスのなかで誰かと誰かが同じ誕生日である確率を考えてみましょう。この問いには、上記と同じく余事象を使う考え方が役に立ちます。裏返して考えるのですね。

「誰かと誰かが同じ誕生日である」とは、つまり「少なくとも2人は同じ誕生日の人がいる」ことになります。3人いる場合もあれば、4人いる場合もあります。これをそのまま計算するのは難しいのですが、この事象が起こらないという意味の余事象であれば計算しやすいです。

「少なくとも2人は同じ誕生日の人がいる」の余事象は、「全員が違う誕生日」です。

まず、全員が違う誕生日となる確率を計算し、1からその値をマイナスすれば、誰かと誰かが同じ誕生日である確率を計算できます。

まず1人目の誕生日が1月1日とします。

2人目が1月1日以外の誕生日である確率は、364/365です。1月2日の誕生日であったとします。

3人目が1月1日・2日以外の誕生日である確率は、363/365です。

これを40人分出してすべて掛け合わせれば、全員が違う誕生日の確率を出せます。

(365/365)×(364/365)×(363/365)×(362/365)・・・(365-39)/365

=0.108

となります。

最後が「365-39」で「40」でなく「39」なのは、1人目はどの誕生日でも誰とも重ならないので365から1を引く必要がないためです。

誰も誕生日が一致しない確率の計算式

学校のクラスをn 人とすると

(365×364×363×・・・×(365-n+1))/ 365

で計算できます。

40人いて誰も誕生日が一致しない確率が10.8%あることになります。「誰も誕生日が一致しない」の逆は、「誕生日の一致が1ペア以上ある」です。「誕生日の一致が1ペア以上あるのは」100%から10.8%を引けばいいのですから、

1 - 0.10876 = 0.89124

89.13%もあるのです。誰と誰の誕生日が重なるかはわかりませんし、誕生日が重なるペアは複数できる確率も全て含めて、89.12%となります。

50人のクラスになると、こうです。

(364/365)×(363/365)×(362/365)・・・(365-49) / 365
=0.0296

1 - 0.02962 = 0.97037

50人のクラスなど、なにかしらの50人の集まりがあった場合、 誕生日の一致が1ペア以上できる確率は約97%です。100%に近いですね。

集団の人数と、その中に同じ誕生日の人がいる確率は、下の表のようになります。

人数 確率
1人  0%
2人  0.27%
3人  0.82%
4人  1.64%
5人  2.71%
6人  4.05%
7人  5.62%
8人  7.43%
9人  9.46%
10人  11.69%
20人  41.14%
30人  70.63%
40人  89.12%
50人  97.04%
60人  99.41%
70人  99.92%
80人  99.991%
90人  99.999%
100人  99.99997%

70~80人も集まれば、そのなかで誰かと誰かが同じ誕生日になる確率は、ほぼ100%になるのです。学校や職場で、身の周りに同じ誕生日の人たちがいても、なんら珍しい話ではありませんね。

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