条件付き確率について子供が男の子であるか女の子であるかの確率で考える

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日常生活に関することで確率を考えてみると、私たちの感覚とはズレが生じるものは少なくありません。直観的にこのくらいの確率で起こるだろうと思ったことが、計算すると実は違っているということがあります。

条件付き確率もそのひとつです。

子供が男の子である確率

「ある家庭に子どもが2人います。そのうちの一方は男の子であるときに、もう一方が男の子である確率は?」

直観的には、1/2と思ってしまいますが、実は、1/3が正しい答えです。

年上、年下で男の子なのか、女の子なのかを考えると、次の4つのパターンがあります。

年上 年下
パターン1
パターン2
パターン3
パターン4

問いは、「ある家庭に子どもが2人います。そのうちの一方は男の子であるときに、もう一方が男の子である確率は?」でした。まず、4つ目の{女・女}のパターンは除外されます。

どちらか一方が男なのは、

  1. {男・男}
  2. {男・女}
  3. {女・男}

で、この3パターンです。「一方は男の子であるときに…」の条件にあてはまるのが、この3パターンであって、このうちもう一方が男であるのは、

  1. {男・男}

のパターンのみですから、

「ある家庭に子どもが2人います。そのうちの一方は男の子であるときに、もう一方が男の子である確率は?」

1/3となります。

上の子供が男の子であると固定すると確率が変わる

「ある家庭に子どもが2人います。そのうちの上の子供が男の子であるときに、下の子供が男の子である確率は?」

年上 年下
パターン1
パターン2
パターン3
パターン4

この4パターンのうち、上の子供が男の子なのは、2パターンのみです。

  1. {男・男}
  2. {男・女}

「上の子供が男の子であるときに…」の条件にあるのがこの2パターンです。このうち、下の子供も男の子なのは、1パターンです。よって、1/2の確率になります。

上の子供は男の子と固定されていて、あとは、下の子だけの問題ですから、単純に2人目に生まれた子が男の子である確率を考えれば、1/2ですよね。こちらは、人の直観と一致します。

条件付確率の計算方法

上記の子供の性別の例のように、ある条件が与えられた場合には、確率が変化することがります。これを「条件付き確率」といい、次の公式が成り立ちます。

P(A|B)=P(A∩B)/P(B)

Bの条件のもとでAが起きる確率を表しています。上記の子供の性別の例で考えると、

  • 一方の子供が男であることをB
  • もう一方の子供が男であることをA

となります。P(B)とは、Bが起きる確率のことを、P(A∩B)はAとBの両方が起きる確率を表しています。

P(B)は、一方の子供が男の子である確率ですから、上記のパターンで見たように、3/4となります。

P(A∩B)は、一方の子供が男であり、かつ、もう一方の子供が男である確率、つまり2人の子供が両方とも男である確率なので、1/4となります。

ですから、これを数式に当てはめると、

P(A|B)=P(A∩B)/P(B)

=(1/4)/(3/4)

=1/3

Bの条件のもとで、もう一方が男の確率は、1/3と計算できます。