誕生日が一致する確率はどのくらいか

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高校生の頃、自分の誕生日に学校の教室へ入ると「今日、誕生日だね」と仲の良い男友達に話かけられました。それを聞いていた隣の女の子が「今日誕生日なの?私も誕生日だよ!」と言うではないですか。同じ教室にまったく同じ誕生日の人がいて驚いていました。

また、海外旅行をしていてホテルにチェックインするために、受付の女性にパスポートを渡したときのことです。受付の人が私のパスポートを見て名前や国籍を確認するのですが、パスポートを開いたらいきなり笑い出しました。

「パスポートの私の顔を見て笑っているのか?」と心配になりましたが、笑った後に発した言葉は 「私も同じ誕生日だよ」でした。生年月日がまったく同じであったので笑い出してしまったとのことでした。

このような誕生日の一致は、どのくらいの確率で起こるものなのでしょうか。学校の同じクラスの中に誕生日が同じ日の人がいたら、偶然の一致に驚いてしまいますよね。

しかし、こういったことは、確率で考えると実はさほど珍しいことでもないのです。

自分と誰かの誕生日が同じ確率

自分の誕生日と誰かの誕生日が同じ日になる確率を考えましょう。目の前に誕生日不明な人が1人いるとします。この人と誕生日が同じ確率をどのくらいなのでしょうか。仮に、自分の誕生日が1月1日であるとします。1年は365日ですから、目の前の誕生日不明な人は365日のどこかが誕生日になりますから、1月1日の誕生日である確率は、1/365ですね。

2人がいたら、誕生日が一致する確率は、2/365です。

学校のクラスにいる生徒が40人であれば、自分以外は39人ですから、誕生日が同じ人がいる確率は39/365です。

そこまで低いとはいえないですよね。

誰かと誰かの誕生日が同じ確率

では、学校の40人クラスの中で誰かと誰かが同じ誕生日である確率を考えてみましょう。まず、誕生日が誰とも一致しない確率を計算し、1からそれを引けば、誰かと誰かの誕生日が一致する確率を計算できます。

まず1人目の誕生日が1月1日とします。

2人目が1月1日以外の誕生日である確率は、364/365です。1月2日の誕生日であったとします。

3人目が1月1日・2日以外の誕生日である確率は、363/365です。

これをずっと計算していきます。

365/365×364/365×363/365×362/365×361/365×360/365・・・・(365-39)/365

=0.108となります。

最後が「365-39」で「40」でなく「39」なのは、1人目はどの誕生日でも誰とも重ならないので365から1を引く必要がないためです。

※誰も誕生日が一致しない確率の計算式
(365×364×363×・・・×(365-n+1)/365のn乗

40人いて誰も誕生日が一致しない確率が10.8%あることになります。「誰も誕生日が一致しない」の逆は、「誕生日の一致が1ペア以上ある」です。「誕生日の一致が1ペア以上あるのは」100%から10.8%を引けばいいのですから、

1-0.1087=0.8913

89.13%もあることになります。誰と誰の誕生日が重なるかはわかりませんし、誕生日が重なるペアは複数できる確率も全て含めて、89.2%となります。

50人のクラスになると、

364/365×363/365×362/365×361/365×360/365・・・・365-49/365
=0.0296

1-0.0296=0.9704

50人のクラスなど、なにかしらの50人の集まりがあった場合、 誕生日の一致が1ペア以上できる確率は97.1%ですから、100%に近いですね。

集団の人数と、その中に同じ誕生日の人がいる確率は、下の表のようになります。

tanjyoubihyou

70~80人も集まれば、その中に同じ誕生日の人がいる確率は、ほぼ100%になるのです。