等式の性質。同じ数を足す・引く・掛ける・割る

等式とは、a=b のようにあらわされる等号(=)で結ばれた式のことです。

= を挟んで、

  • 左の式を左辺
  • 右の式を右辺

と呼びます。

= は、左辺と右辺が釣り合っている状態であることを示します。ですから、

  • 左辺と右辺の両方に10を足す
  • 左辺と右辺の両方から10を引く
  • 左辺と右辺の両方を10倍にする
  • 左辺と右辺の両方を10分の1にする

こういった操作を行っても、変わらずに釣り合いがとれているはずですよね。左辺と右辺の両方に、同じ数を足す・引く・掛ける・割るのであれば、等式はそのまま成り立ちます。

両辺に同じ数を足す

a=b ⇔ a+c=b+c

簡単な等式で考えてみます。

2+5 = 3+4

7 = 7

この等式の両辺に3 足してみると

2+5+3 = 3+4+3

10 = 10

となり、当たり前ですが同じになります。

※記号 ⇔ について

⇔ は同値を示す記号です。p⇔qのとき、pとqは同値といい、pが成り立つのと、qが成り立つのは同じだということです。

両辺から同じ数を引く

a=b ⇔ a-c=b-c

簡単な等式で考えてみます。

5-2 = 7-4

3 = 3

この等式の両辺から2を引いてみると、

5-2-2 = 7-4-2

1 = 1

となり、当たり前ですが同じになります。

両辺に同じ数を足すことや、両辺から同じ数を引くことは、

x+5 = 15

という式から、xを計算するときには、左辺の5 を右辺に移項して、

x = 15-5

= 10

としますよね。

これは、

x+5-5 = 15-5

x = 10

両辺から5 を引いているのと同じことです。

両辺に同じ数を掛ける

a=b ⇔ a×c=b×c

5-2 = 7-4

3 = 3

この等式の両辺に2 を掛けてみると、

(5-2)× 2 =(7-4)× 2

6 = 6

となり、同じになります。

両辺を同じ正の数で割る

a=b ⇔ a÷c=b÷c

こちらも簡単な数式で考えてみます。

10-2 = 16-8

8 = 8

この等式の両辺を4で割ってみると、

(10-2)÷ 4 =(16-8)÷ 4

2 = 2

となり、同じになります。

まとめ

  • 両辺に同じ数を足す
  • 両辺から同じ数を引く
  • 両辺に同じ数を掛ける
  • 両辺を同じ正の数で割る

これらの操作を行っても、等式は成立したままという等式の性質について書きました。ここでは簡単な数式で考えましたが、難しい数式であっても同じことがいえます。

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