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標本の分散や標準偏差は、母集団の分散や標準偏差と比べて小さいほうへ偏る
点推定と区間推定について説明したページでは、標本5個から母平均を推定しています。ここで一つ問題があります。
母集団の平均値の区間推定で使用したのは母集団の標準偏差σでしたが、母集団の平均値がわからないので推定をするときに、σだけがわかっていることは実際には少ないです。 標本のデータを使って標本の標準偏差ｓは計算することができますが、母集団の標準偏差σとはズレが出る可能性があります。
標本から得られた標準偏差は、母集団の標準偏差と比べて、小さいほうへ偏ってしまう性質があります。 そのため、標本の標準偏差σは、そのまま母集団の標準偏差としては使用せず、補正をかける必要があります。
| 97ｇ、98ｇ、100ｇ、102ｇ、103g |
この5つの値の平均値は、100ｇです。これを母集団の平均値の推定値としますが、実際には、100ｇよりも大きいかもしれないですし、小さいかもしれません。それは神のみぞ知ることです。私たちがわかるのは、この5つのデータとそこから得られる平均値100ｇという数値です。
標本のデータから得られたこの100ｇの数値を使って、標準偏差を計算します。そうして計算されて出てきた標準偏差は、母集団の標準偏差と比べて、小さいほうへ偏ってしまう・・・これは、なぜなのでしょうか。
標準偏差は、各データの偏差をだして、2乗して・・・と計算していくので、偏差をもとにして計算されます。ですので、各偏差を2乗して足し合わせた数値（偏差平方和）が大きいほど、標本の標準偏差は大きくなり、偏差平方和が小さいほど標本の標準偏差は小さくなります。
標本データの平均値を計算すると、自動的に、偏差平方和がもっとも小さくなるような数値になります。それはつまり、偏差平方和をｎで割り平方根をとった数値である標準偏差も同様にもっとも小さくなってしまうのです。
そうなるように、標本の各データが平均値を決めてしまっているのです。
さきほどの5つの製品の重量を再掲します。
| 97ｇ、98ｇ、100ｇ、102ｇ、103g |
この5つのデータの平均値は100ｇですから、この値を使って、標準偏差を計算してみましょう。
まず分散を計算すると、
平均値を100としてみると
（（97－100）2 ＋（98－100）2 ＋（100－100）2 ＋（102－100）2 ＋（103－100）2）/5
＝5.2
標準偏差は、√5.2＝2.28
となります。
母集団の平均値は、100であるとは限りません。仮に101であったとすると、 まず分散を計算すると、
仮に平均値を101としてみると
分散は、6.2
標準偏差は、√6.2＝2.49
となり、標本の平均値である100を使って計算するよりも標準偏差が大きくなります。
これは、平均値を99で計算しても同じ値になります。
仮に平均値を99としてみると
同じく、
分散は、6.2
標準偏差は、√6.2＝2.49
となります。標本の平均値は、母集団の平均値とは一致することはまずありません。多かれ少なかれズレが出ます。そして上記の表のように、標本の平均値は、標準偏差が一番小さくなるような数値なのです。標本の平均と、母集団の平均が少しでもズレているならば、標本の標準偏差より、母集団の標準偏差の方が大きな値になるでしょう。
よって、標本標準偏差ｓは、母標準偏差σよりも小さいほうへ偏りがちになるので、そのままではσの推定値としては使えません。σの推定値として使うためには、補正をかける必要があります。
標本の標準偏差に補正をかける
その補正の方法は、下記の計算でできます。
☆母集団の標準偏差σの推定値
または、
計算するとどちらも同じ数値になります。 σの上についているとんがり帽みたいな記号は、「ハット」といい、シグマと合わせて「シグマハット」と読みます。母集団の標準偏差がσ、標本の標準偏差がｓ、母集団の標準偏差の推定値が「シグマハット」です。
☆標本の平均値の100を使って標準偏差を計算した表を再掲します。
標本の標準偏差は、2.28です。母標準偏差の推定値は、標本ｎが5個ですから、標本標準偏差に√5 / √(5－1)を掛けた数値が公平な推定値になります。
2.28×√5 / √(5－1) ＝ 2.55
これが、母集団の標準偏差の推定値になります。
となります。
標本の平均値を使って標準偏差を計算した後に、√ｎ / √（ｎ－1）を掛けて補正をしましたが、他の計算方法もあります。標準偏差の計算途中で、偏差平方和をデータ数ｎで割るときに、「ｎ」ではなく「ｎ－1」で割って計算する方法でも同じ値が得られます。
これを計算すると、
分散＝偏差平方和 / (ｎ－1)
＝ 26 / (5－1) ＝ 6.5
標準偏差は、
√6.5 ＝ 2.55
ただし、ｎが大きくなれば、「ｎ-1」で割ったりすることなく、標本の標準偏差ｓをそのまま、母集団の標準偏差のσの推定値として使用しても大丈夫になります。なぜなら、標本の数が増えるほど、「ｎ」と「ｎ-1」の差が無くなっていくからです。
母集団の分散の推定値は、下記の計算式になります。
☆母集団の分散の不偏推定値
母集団の分散の不偏推定値の平方根をとると、標準偏差となります。標本通り、平均値100を使って分散を計算すると、
分散 ＝ 偏差平方和 / (ｎ－1) ＝ 26 / 5 ＝ 5.2
母集団の分散の不偏推定値は、ｎ / (ｎ－1)をかけますから、
5.2 × 5 / (5－1) ＝6.5
6.5の平方根をとると標準偏差の推定値になります。
√6.5 ＝ 2.55
データ個数ｎで割って計算した標本の標準偏差に、√ｎ/√(ｎ－1)をかけた値と同じになります。
2.28 × （√5 / √（5－1）） ＝ 2.55