標本空間の基本

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確率の理論を展開したり、理解したりするうえで、実験の結果を用いますが、このときの起こりうる全ての結果の集合を「標本空間」といい、偶然的に起こる実験の結果を事象といいます。

標本空間

1枚のコインを投げる場合のことを考えてみましょう。結果は、表か裏の2通りしかありません。表・裏のそれぞれの個々の結果を「標本点」といいます。

標本空間 Ω={表・裏}

hyouhonkuukan1

と表します。

6面のサイコロを投げたときは、1、2、3、4、5、6の目のいずれかが出ることが、起こりうる結果ですから、

標本空間 Ω={1・2・3・4・5・6}

hyouhonkuukan2

標本点はそれぞれの個々の結果のことを指します。標本空間に含まれる集合が事象です。事象は標本点一つの事もあれば、複数の標本点が合わさっていることもあります。

標本空間 Ω={1・2・3・4・5・6}

偶数の目が出る事象・・・事象A={2・4・6}

1~3の目が出る事象・・・事象B={1・2・3}

の場合には、下記図のようになります。

hyouhonkuukan3

事象と事象の関係

和事象

事象Aと事象Bのうち少なくとも一つが起きる事象を「和事象」といい、「A∪B」と表します。AまたはB、あるいはA or Bという意味で、記号は「エー・カップ・ビー」読みます。記号の「∪」の形はコーヒーカップなどのコップの型に見えますよね。AとB両方をコップに入れて合わせてしまうイメージから、英語のCupで、「カップ」と覚えるのがいいでしょう。

積事象

事象Aと事象Bが同時に起きる辞書を「積事象」といい、「A∩B」と表します。 AかつB、あるいはA and Bという意味で、記号は「エー・キャップ・ビ」ーと読みます。記号の「∩」は、帽子の形のように見えますから、帽子は英語のCap、そこから「キャップ」と連想できます。

余事象

事象Aが起きない事象のことを事象A「余事象」といいます。 事象Aと事象Bが起きない事象の事であれば、事象AまたはBの「余事象」といいます。

  • (A∪B)

のように右上に「」をつけたり、

  • A’
  • (A∪B)’

のように右上に「’」をつけて表します。

※Cは余事象complementary eventの頭文字です。

上にも掲載した図を再度掲載します。こちらで考えてみましょう。

hyouhonkuukan3

事象Aと事象Bの和事象は、青線と緑線の少なくとも一つ以上に囲まれた事象で、

A∪B={1・2・3・4・6}

事象Aと事象Bの積事象は、青線と緑線の両方に囲まれた事象で、

A∩B={2}

事象Aと事象Bの余事象は、青線と緑線のどちらにも囲まれていない事象で

(A∪B)={5}

です。