Ａが起きた条件もとでＢが起きる確率を、「条件付き確率」といいます。
クジ引きを例題として。条件付き確率について説明していきます。
10本中2本の当たりがあるクジがあるとしましょう。このクジで、2回連続で当たる確率はどのくらいのなるのか考えてみます。
10本中2本の当たりがあるクジで2回連続で当たる確率
1回目が当たった場合の2回目の当たり確率
●1回目
まず1回目のクジは10本中2本の当たりクジがあるのだから、2/10 の確率で当たりくじを引くことができます。みごとに当たりを引いたとしましょう。
1回目であたりを引く確率・・・2/10
●2回目
2回目のクジを引くときには、クジの本数は10本から9本へ、当たりクジは2本から1本へと変化しています。
2回目のクジ引きでは、9本中1本の当たりクジがあるので、当たりクジを引く確率は1/9 です。
2回目で当たりを引く確率・・・1/9
1回目、2回目にそれぞれ当たりクジを引く確率は、このようになりました。
- 1回目 2/10
- 2回目 1/9
1回目でハズれた場合の2回目の当たり確率
●1回目
まず1回目のクジは10本中2本の当たりクジがあるのだから、2/10の確率で当たりくじを引くことができます。ここは、上記と変わりません。ハズレを引いたとしましょう。
1回目であたりを引く確率・・・2/10
●2回目
2回目のクジを引くときには、クジの本数は10本から9本へ、当たりクジは2本のままです。
2回目のクジ引きでは、9本中2本の当たりクジがあるので、当たりクジを引く確率は2/9です。
2回目で当たりを引く確率・・・2/9
1回目、2回目にそれぞれ当たりクジを引く確率は、このようになりました。
- 1回目 2/10
- 2回目 2/9
1回目のクジ引きの結果が、当たりなのかハズレなのかによって、2回目のクジ引きで当たる確率が変化しましたね。
条件付き確率
1回目のクジ引きの結果によって、2回目のクジ引きで当たる確率が変化しましたね。
2回目のクジ引きで当たる確率は、1回目のクジ引きに結果によって決まるので、条件付きなわけです。
この例のように、Ａが起きた条件もとでＢが起きる確率を、「条件付き確率」といいます。
条件付き確率の求め方
1回目に当たりクジを引いた後に、2回目で当たりクジを引く確率は、1/9 です。
条件付き確率の公式は、
$$P(A|B)=\frac{P(A∩B)}{P(B)}$$
です。これは、「条件ＢのもとでのＡの確率」とか、「Ｂが起こったときＡの条件付き確率」といった意味があります。
「P」は確率の意味で、「P(A)」はPが起こる確率、「P(A∩B)」はＡかつＢが起こる確率です。
1回目に当たりクジを引いたことをB、2回目で当たりクジを引く確率をAとし、条件BのもとでAが起こる確率を、この定義に当てはめて考えてみます。
1回目と2回目両方で当たりクジを引く確率は、1回目で当たる確率と2回目で当たる確率を掛けた積で求めることができます。
2/10×1/9＝0.02222・・・です。
$$P(A|B)=\frac{P(A∩B)}{P(B)}$$
$$=\frac{P(1回目当たりかつ2回目当たり)}{P(1回目当たり)}$$
$$=\frac{(2/10)\times (1/9)}{2/10}$$
$$=\frac{0.02222}{0.2}$$
$$=0.1111$$
$$=1/9$$
となります。