平均値や分散・標準偏差の性質

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標準偏差は、各データをa倍すると、標準偏差はa倍になります。これは、平均値からのばらつき度合いを表す標準偏差が、測定単位の変化によって、平均値と比例して変わることを意味しています。

測定単位が変わると、標準偏差も変わる

分散、標準偏差には下記のような性質があります。

  • データに定数aを加えても標準偏差は変化しない
  • データをa倍すると、標準偏差はa倍になり、分散はaの二乗倍になる
  • データをa倍し、定数bを加えると、標準偏差はa倍しただけのものになる

ある5人の高校生を例にとってみてみましょう。

身長を計測すると、

1.62m、1.64m、1.68m、1.71m、1.74m

となりました。

  • 平均は1.68
  • 標準偏差は0.044

です。

このデータの単位はm表記でした。単位をcmに変換すると、1m=100cmですから、データの数値は100倍になるので、

162cm、164cm、168cm、171cm、174cm

となります。この数値から平均値と標準偏差を計算すると、

  • 平均は168
  • 標準偏差は4.4

となりました。

測定単位がmからcmに変わることで、標準偏差が0.044から4.44と変わりました。mからcmに変換したことで、高校生5人の身長のばらつきが大きくなったわけではもちろんありません。バラつき度合を示す標準偏差の数値が大きくなっただけです。

数字だけみれば、「cmのデータのほうがばらつきが大きい」と誤った認識してしまいそうですが、単に測定単位が変わっただけです。測定単位に関わらず、同じ数値になる指標として、変動係数があります。

参考:変動係数の意味と求め方