対数の性質と計算ルールについて、まとめました。
対数とは
対数とは、指数の表し方を逆にしたもので、log をつかって表します。指数をクローズアップして主役として表したものが対数です。
「2 を何乗すると8 になるか？」の問いの答えとなる数が対数です。
たとえば、2の3乗というと
$$2^3=8$$
と表しますけれども、この3乗の部分を主役にして表すのが対数です。
対数は、
$$\log_2 8 =3$$
のように表します。「2 を何乗すると8 になるか？」→ 3乗ですね。
参考記事 log（ログ）を使った対数の表し方、logの読み方
対数の性質
対数には、次のような性質があります。
$$\log_a a=1$$
a を何乗するとa になるか。1乗ですね。\(a^1=a\)です。
$$\log_a 1=0$$
a を何乗すると1 になるか。0乗ですね。\(a^0=1\)です。底a がどんな数であっても、\(a^0\) は\(1\) となります。
$$\log_a \frac{1}{a}=-1$$
a を何乗するとa になるか。－1乗ですね。\(a^{-1}=\frac{1}{a}\)です。
対数と対数の足し算は、掛け算したものの対数と同じ
$$\log_a M +\log_a N =\log_a MN$$
対数と対数の足し算は、掛け算をしたものの対数と同じになります。
たとえば、
$$\log_2 10 +\log_2 8 =\log_2 10\times 8$$
$$=\log_2 80$$
となります。
逆に、\(\log_2 80\) という対数があったら、\(\log_2 10\) と\(\log_2 8\) の足し算であると考えることができます。
対数から対数を引いたものは、割り算したものの対数と同じ
$$\log_a M -\log_a N =\log_a \frac{M}{N}$$
対数から対数を引くのは、割り算したものの対数と同じです。
たとえば、
$$\log_2 10 -\log_2 8 =\log_2 \frac{10}{8}$$
となります。
逆に、\(\log_2 1.25\) があったら、\(\log_2 \frac{10}{8}\)であり、\(\log_2 10 -\log_2 8\) であると考えることができます。
真数の累乗は、対数の外側の掛け算にできる
$$\log_a M^k =k\times \log_a M$$
真数とは、\(\log_a M\) でいうと\(M\) の部分です。真数の累乗は、対数外側の掛け算で考えることができます。
たとえば、
$$\log_2 16=\log_2 4^2 =2\times\log_2 4$$
となります。
逆に、対数の外側の掛け算を真数の累乗にして考えることもできます。\(2\times\log_2 4\) があったら、\(\log_2 4^2\) と考えることができます。