不等式とは、ａ＜ｂ のようにあらわされる不等号（＜、＞）をつかった式のことです。
不等号を挟んで、
- 左の式を左辺
- 右の式を右辺
と呼びます。
左辺と右辺は、いずれかが大きい状態であることを示します。ですから、
- 左辺と右辺の両方に10を足す
- 左辺と右辺の両方から10を引く
- 左辺と右辺の両方を10倍にする
- 左辺と右辺の両方を10分の1にする
こういった操作を行っても、不等号の向きは変わらなさそうです。
左辺と右辺の両方に、同じ数を足す・引く・掛ける・割るのであれば、不等式はそのまま成り立ちます。
等式とは、ａ＝ｂ のようにあらわされる等号（＝）で結ばれた式のことです。
しかし、負の数を掛けたり、負の数で割ったときには、不等号の向きが変わるという性質があります。
不等式の両辺に同じ数を足す、引く、掛ける、割るときには、その数が正の数なのか、負の数なのか、注意が必要です。
両辺に同じ数を足しても不等号の向きは変わらない
ａ＜ｂ ⇔ ａ＋ｃ＜ｂ＋ｃ
両辺に同じ数ｃを足しても、不当式はそのまま成り立ちます。
簡単な不等式で考えてみます。
2＋5 ＜ 4＋5
7 ＜ 9
この等式の両辺に3 足してみると
2＋5＋3 ＜ 4＋5＋3
10 ＜ 12
となり、当たり前ですが不等式はそのまま成り立ちます。
※記号 ⇔ について
両辺から同じ数を引いても不等号の向きは変わらない
ａ＜ｂ ⇔ ａ－ｃ＜ｂ－ｃ
両辺から同じ数ｃを引いても、不等式はそのまま成り立ちます。
簡単な等式で考えてみます。
5－2 ＜ 7－2
3 ＜ 5
この不等式の両辺から2を引いてみると、
5－2－2 ＜ 7－2－2
1 ＜ 3
となり、当たり前ですが不等式はそのまま成り立ちます。
両辺に同じ数を足すことや、両辺から同じ数を引くことは、
$x$＋5 ＜ 15
という$x$ がつかわれた式で、移項をして$x$の値を計算するときに用いられます。計算方法としては、左辺の5 を右辺に移項して、
$x$ ＜ 15－5
$x$ ＜ 10
としますよね。
これは、
$x$＋5－5 ＜ 15－5
$x$ ＜ 10
としてあげて、両辺から5 を引いているのと同じことです。
両辺に同じ正の数を掛けても不等号の向きは変わらないが、同じ負の数を掛けると不等号の向きが変わる
両辺にかける数ｃが、正の数（0＜ｃ）のときと、負の数（ｃ＜ 0）のときで、分けて考えます。
0＜ｃ のとき、
ａ＜ｂ ⇔ ａ×ｃ＜ｂ×ｃ
両辺に同じ数ｃを掛けても、不等式はそのまま成り立ちます。
簡単な数式で考えてみます。
5－2 ＜ 7－2
3 ＜ 5
この不等式の両辺に2 を掛けてみると、
（5－2）× 2 ＜（7－2）× 2
6 ＜ 10
となり、不等式はそのまま成り立ちます。
一方、
ｃ＜ 0 のとき、
ａ＜ｂ ⇔ ａ×ｃ＞ｂ×ｃ
両辺に同じ数ｃを掛けると、不等号の向きが変わります。
5－2 ＜ 7－2
3 ＜ 5
この不等式の両辺に－2 を掛けてみると、
（5－2）×（－2） ＞（7－2）×（－2）
－6 ＞ －10
と、不等号の向きが変りました。
両辺を同じ正の数で割っても不等号の向きは変わらないが、同じ負の数で割ると不等号の向きが変わる
掛けるときと同じく、両辺を割る数ｃが、正の数（0＜ｃ）のときと、負の数（ｃ＜ 0）のときで、分けて考えます。
0＜ｃ のとき、
ａ＜ｂ ⇔ ａ÷ｃ＜ｂ÷ｃ
両辺を同じ正の数で割っても、不等式はそのまま成り立ちます。
こちらも簡単な数式で考えてみます。
10－2 ＜ 16－4
8 ＜ 12
この不等式の両辺を4で割ってみると、
（10－2）÷ 4 ＜（16－4）÷ 4
2 ＜ 3
となり、不等式はそのまま成り立ちます。
一方、
ｃ＜ 0 のとき、
ａ＜ｂ ⇔ ａ÷ｃ＞ｂ÷ｃ
両辺を同じ負の数で割ると、不等号の向きが変わります。
こちらも簡単な数式で考えてみます。
10－2 ＜ 16－4
8 ＜ 12
この不等式の両辺を－4で割ってみると、
（10－2）÷ （－4） ＞（16－4）÷ （－4）
－2 ＞ －3
と、不等号の向きが変りました。
まとめ
ある不等式にたいして、
- 両辺に同じ数を足す
- 両辺から同じ数を引く
- 両辺に同じ正の数を掛ける（0＜ｃ のとき）
- 両辺を同じ正の数で割る（0＜ｃ のとき）
これらの操作を行っても、不等式は成立したまま。不等号の向きは変わりません。
しかし、
- 両辺に同じ負の数を掛ける（ｃ＜ 0 のとき）
- 両辺を同じ負の数で割る（ｃ＜ 0 のとき）
これらの操作を行うと、不等号の向きが変わり、左辺と右辺の大きい・小さいが逆転します。