GAUSS 関数とは、標準正規分布で、平均からｚ値までの間の累積確率を計算する関数です。
別の言い方をすると、母集団からランダムに取りだしたあるデータが、平均値から標準偏差ｚ倍の範囲に入る確率を計算する関数です。
ｚ値とは
あるデータの値が、平均値から標準偏差なん個分離れているか？をあらわす数値をｚ値といいます。
平均値を0、標準偏差を1 に変換して考える方法で、これを基準化とか標準化といいます。
あるデータが平均値から標準偏差1個ぶん離れているのなら、それはｚ値＝1 となります。
正規分布は別名、ガウス分布とも呼ばれます。GAUSS（ガウス）とはドイツの数学者の名前です。
正規分布の基準化変量ｚ（標準化変量）
正規分布と標準偏差について説明します。すでに理解のある方は読み飛ばしてください。
正規分布は、平均値と標準偏差でどのような分布になるのかが決まります。分布グラフの中央が平均値となり、山の広がり具合が標準偏差です。
参考記事 正規分布の基本
正規分布の母集団から、あるひとつのデータを取り出したときに、そのデータは、分布のどこに位置するか、確率的に決まっています。
正規分布は次のような形をしています。
中心が平均値となります。その平均値付近にデータが多く、平均値から離れて大きな値になるほど、または小さな値になるほど、データは少なくなっていきます。
世の中のものごとは、正規分布に近似することがあります。生物の大きさなどに見られます。
正規分布では、分布のちょうど中央が平均値で、そこから標準偏差何個分の範囲に、どのくらいのデータが分布するかということが、確率的に決まっています。
正規分布の母集団があって、ある1個のデータを取りだしたら、
- 68.26%の確率で、平均値から標準偏差 ±1 個分の範囲に入ることがわかっています。
- 95.44％の確率で、平均値から標準偏差 ±2 個分の範囲に入ることがわかっています。
標準偏差は、記号で示すと“σ”です。標準偏差1 個分なら、1σ です。標準偏差2 個分なら、2σ です。
たとえば、男性の身長は正規分布に近い分布です。厳密にいうと正規分布ではないのですが、正規分布として取り扱って考えてみます。
日本人の成人男性の身長は、年齢によって変わりますが、ここでは、
- 平均が171.0ｃｍ
- 標準偏差が5.5ｃｍ
としましょう（正しい数値ではありません。例題としてつかうため、仮に設定した数値です）。
日本人の成人男性の68.26%は、身長が平均値から ± 標準偏差1個分の範囲（171.0ｃｍ ± 5.5ｃｍ）になります。
（ランダムに日本人の成人男性を一人選んだら、その人の身長は、68.26%の確率で、171.0ｃｍ ± 5.5ｃｍの範囲になります）
日本人の成人男性の95.44%は、身長が平均値から ± 標準偏差1個分の範囲（171.0ｃｍ ± 2 × 5.5ｃｍ）の範囲になります。
（ランダムに日本人の成人男性を一人選んだら、その人の身長は、95.44%の確率で、171.0ｃｍ ± 2× 5.5ｃｍ の範囲になります）
次に、平均値からプラスマイナスで考えるのではなくて、プラス方面だけに考えてみましょう。上記の半分にすればOKです。
- 34.13％の確率で、平均値から標準偏差 プラス側 1 個分の範囲に入ります。
- 47.72％の確率で、平均値から標準偏差 プラス側 2 個分の範囲に入ることがわかっています。
あるデータの値が、平均値から標準偏差なん個分離れているか、あるいは何倍離れているか？をあらわす数値をｚ値といいます。
平均値を0、標準偏差を1 に変換して考える方法で、これを基準化とか標準化といいます。また、平均値を0、標準偏差を1 に変換した正規分布のことを、標準正規分布と呼びます。
あるデータが平均値から標準偏差1個ぶん離れているのなら、それはｚ値＝1 となります。
参考記事 基準化の意味と基準化変量の求め方（標準化ともいう）
ｚ値をつかって、平均値からｚ値までの累積確率を計算することができるのが、GAUSS 関数です。
GAUSS 関数で確率を計算する
GAUSS 関数は、平均値からｚ値までの累積確率を計算します。
言い換えると、母集団からランダムに取りだしたあるデータが、平均値から標準偏差ｚ倍の範囲に入る確率を計算します。
例として、日本人の成人男性の身長が正規分布しているとして、
- 平均が171.0ｃｍ
- 標準偏差が5.5ｃｍ
として、計算をしてみます。
セルに
「＝ GAUSS（ ）」
を入力し、
「＝ GAUSS（ｚ値）」
ｚ値を指定すると、正規分布で、平均値からｚ値までの累積確率を計算します。
ｚ値の指定は、直接数字を入力してもいいですし、数字を入力した他のセルを指定してもいいです。
ここでは、ｚ値＝1、ｚ値＝2、ｚ値＝3 のときに、平均値からそのｚ値までに入る確率を見てみます。
※ｚ値＝1 ということは、平均値から標準偏差1個分までの累積確率を計算します。
平均値からｚ値＝1 までの累積確率は、0.3413 です。
さらに、ｚ値＝2、ｚ値＝3 のときも見てみます。
平均値から標準偏差2個分までは、0.4772 、平均値から標準偏差3個分までは、0.4987 の累積確率となりました。
さきほどの身長の話でいうと、
日本人の成人男性の47.72%の人たちの身長は、平均身長の 171.0ｃｍ から標準偏差2個分（ 2 × 5.5ｃｍ）の範囲になる、ということです。
（ランダムに日本人の成人男性を一人選んだら、その人の身長は、47.72%の確率で、平均身長の 171.0ｃｍ から標準偏差２個分（ 2 × 5.5ｃｍ）の範囲になるといえます）
ところで、私の身長は、175.0ｃｍ。この身長で計算してみましょう。
175.0 － 171.0 ＝ 4.0ｃｍ
偏差は4.0ｃｍとなります。そして、偏差4.0ｃｍを標準偏差5.5ｃｍで割ると、
4.0 / 5.5 ＝ 0.7272…
です。
基準化変量ｚ＝0.7272です。標準偏差0.7272個分です。
日本人の成人男性の26.64%の人たちの身長は、平均身長175.1ｃｍから私の身長175.0ｃｍ の間になるようですね。
私の身長175.0ｃｍ以上、また以下の確率も計算することができます。
平均値以下は、0.50 の確率ですから、175.0ｃｍ以下の人の割合は、
0.2664＋0.5000＝0.7664
76.64％ であるといえます。175.0よりも大きい人は、
1.00－0.7664＝0.2336
23.36％ の割合でいるので、175.0ｃｍは、平均よりも高い身長ですが、分布のなかではそんなに大きいわけではないなと、わかります。
といった具合に、GAUSS 関数を用いることで、ｚ値をつかって正規分布のどこに位置するのかといったことが、わかるようになります。