標準正規分布で平均値からの累積確率を計算するGAUSS 関数




GAUSS 関数とは、標準正規分布で、平均からz値までの間の累積確率を計算する関数です。

別の言い方をすると、母集団からランダムに取りだしたあるデータが、平均値から標準偏差z倍の範囲に入る確率を計算する関数です。

z値とは

あるデータの値が、平均値から標準偏差なん個分離れているか?をあらわす数値をz値といいます。

平均値を0、標準偏差を1 に変換して考える方法で、これを基準化とか標準化といいます。

あるデータが平均値から標準偏差1個ぶん離れているのなら、それはz値=1 となります。

正規分布は別名、ガウス分布とも呼ばれます。GAUSS(ガウス)とはドイツの数学者の名前です。

正規分布の基準化変量z(標準化変量)

正規分布と標準偏差について説明します。すでに理解のある方は読み飛ばしてください。

正規分布は、平均値と標準偏差でどのような分布になるのかが決まります。分布グラフの中央が平均値となり、山の広がり具合が標準偏差です。

参照:正規分布の基本

正規分布の母集団から、あるひとつのデータを取り出したときに、そのデータは、分布のどこに位置するか、確率的に決まっています。

正規分布は次のような形をしています。

中心が平均値となります。その平均値付近にデータが多く、平均値から離れて大きな値になるほど、または小さな値になるほど、データは少なくなっていきます。

世の中のものごとは、正規分布に近似することがあります。生物の大きさなどに見られます。

正規分布では、分布のちょうど中央が平均値で、そこから標準偏差何個分の範囲に、どのくらいのデータが分布するかということが、確率的に決まっています。

正規分布の母集団があって、ある1個のデータを取りだしたら、

  • 68.26%の確率で、平均値から標準偏差 ±1 個分の範囲に入ることがわかっています。
  • 95.44%の確率で、平均値から標準偏差 ±2 個分の範囲に入ることがわかっています。

標準偏差は、記号で示すと“σ”です。標準偏差1 個分なら、1σ です。標準偏差2 個分なら、2σ です。

たとえば、男性の身長は正規分布に近い分布です。厳密にいうと正規分布ではないのですが、正規分布として取り扱って考えてみます。

日本人の成人男性の身長は、年齢によって変わりますが、ここでは、

  • 平均が171.0cm
  • 標準偏差が5.5cm

としましょう(正しい数値ではありません。例題としてつかうため、仮に設定した数値です)。

日本人の成人男性の68.26%は、身長が平均値から ± 標準偏差1個分の範囲(171.0cm ± 5.5cm)になります。

(ランダムに日本人の成人男性を一人選んだら、その人の身長は、68.26%の確率で、171.0cm ± 5.5cmの範囲になります)

日本人の成人男性の95.44%は、身長が平均値から ± 標準偏差1個分の範囲(171.0cm ± 2 × 5.5cm)の範囲になります。

(ランダムに日本人の成人男性を一人選んだら、その人の身長は、95.44%の確率で、171.0cm ± 2× 5.5cm の範囲になります)

次に、平均値からプラスマイナスで考えるのではなくて、プラス方面だけに考えてみましょう。上記の半分にすればOKです。

  • 34.13%の確率で、平均値から標準偏差 プラス側 1 個分の範囲に入ります。
  • 47.72%の確率で、平均値から標準偏差 プラス側 2 個分の範囲に入ることがわかっています。

あるデータの値が、平均値から標準偏差なん個分離れているか、あるいは何倍離れているか?をあらわす数値をz値といいます。

平均値を0、標準偏差を1 に変換して考える方法で、これを基準化とか標準化といいます。また、平均値を0、標準偏差を1 に変換した正規分布のことを、標準正規分布と呼びます。

あるデータが平均値から標準偏差1個ぶん離れているのなら、それはz値=1 となります。

参照:基準化の意味と基準化変量の求め方(標準化ともいう)

z値をつかって、平均値からz値までの累積確率を計算することができるのが、GAUSS 関数です。

GAUSS 関数で確率を計算する

GAUSS 関数は、平均値からz値までの累積確率を計算します。

言い換えると、母集団からランダムに取りだしたあるデータが、平均値から標準偏差z倍の範囲に入る確率を計算します。

例として、日本人の成人男性の身長が正規分布しているとして、

  • 平均が171.0cm
  • 標準偏差が5.5cm

として、計算をしてみます。

セルに

「= GAUSS( )」

を入力し、

「= GAUSS(z値)」

z値を指定すると、正規分布で、平均値からz値までの累積確率を計算します。

z値の指定は、直接数字を入力してもいいですし、数字を入力した他のセルを指定してもいいです。

ここでは、z値=1、z値=2、z値=3 のときに、平均値からそのz値までに入る確率を見てみます。

※z値=1 ということは、平均値から標準偏差1個分までの累積確率を計算します。

平均値からz値=1 までの累積確率は、0.3413 です。

さらに、z値=2、z値=3 のときも見てみます。

平均値から標準偏差2個分までは、0.4772 、平均値から標準偏差3個分までは、0.4987 の累積確率となりました。

さきほどの身長の話でいうと、

日本人の成人男性の47.72%の人たちの身長は、平均身長の 171.0cm から標準偏差2個分( 2 × 5.5cm)の範囲になる、ということです。

(ランダムに日本人の成人男性を一人選んだら、その人の身長は、47.72%の確率で、平均身長の 171.0cm から標準偏差2個分( 2 × 5.5cm)の範囲になるといえます)

ところで、私の身長は、175.0cm。この身長で計算してみましょう。

175.0 - 171.0 = 4.0cm

偏差は4.0cmとなります。そして、偏差4.0cmを標準偏差5.5cmで割ると、

4.0 / 5.5 = 0.7272…

です。

基準化変量z=0.7272です。標準偏差0.7272個分です。

日本人の成人男性の26.64%の人たちの身長は、平均身長175.1cmから私の身長175.0cm の間になるようですね。

私の身長175.0cm以上、また以下の確率も計算することができます。

平均値以下は、0.50 の確率ですから、175.0cm以下の人の割合は、

0.2664+0.5000=0.7664

76.64% であるといえます。175.0よりも大きい人は、

1.00-0.7664=0.2336

23.36% の割合でいるので、175.0cmは、平均よりも高い身長ですが、分布のなかではそんなに大きいわけではないなと、わかります。

といった具合に、GAUSS 関数を用いることで、z値をつかって正規分布のどこに位置するのかといったことが、わかるようになります。

スポンサーリンク