確率の基本的な公理

確率の基本的な公理について書きました。

どのような事象Aでも、確率はP(A)は 0~1 の間になる

P(A)は必ず、0 から1 の間の数値になります。

$$0\leqq P(A)\leqq 1$$

P(A)とは、Aが起こる確率を表す記号です。

確率を英語で probability。この頭文字をとって、Pがつかわれています。

確率がP(A)=0であれば、Aは絶対に起きない、P(A)=1であれば、Aが絶対に起きることを表しています。

%で表すとするならば0%から100%であり、100%を越えることはないです。

「120%そうだろう」、「2万%ありえない」など言う人もいますが、そのような確率は存在しませんから、確率論的にいえば、その言葉がありえません。思い切り強調したいときに使う表現なだけなのはわかりますが。

すべての事象をSとしたら、Sの確率は1 になる

すべての事象をSとしたら、Sの確率は1 です。

$$P(S)=1$$

すべての事象を合わせれば、それが起こる確率は必ず、1 になります。

コイン投げを例してみます。コインを投げて出てくる面が表(H)になるか、裏(T)になるか見てみるとこい、表(H)が出る確率は0.5、裏(T)が出る確率は0.5です。事象はこの2つしかありません。

この2つのことが起こる確率、つまりすべての事象の確率は、0.5と0.5を足して1 になります。

$$P(H)+P(T)=0.5+0.5=1$$

また、事象Aと事象Aが起こらない確率を合わせると1となります。事象Aがおこらない確率は「A」や「A’」と表記します。

$$P(A)+P(A^c)=1$$

またしてもコイン投げを例にすると、表(H)が出る確率は0.5、表(H)が出ない確率(=裏(T)が出る確率)は0.5ですよね。

表(H)が出る確率と、表(H)が出ない確率を合わせると、0.5と0.5を足して1 になります。

$$P(H)+P(H^c)=0.5+0.5=1$$

加法定理

AとBの2つの事象があり、これらが排反事象であるとき、 「AまたはBが起こる確率」は、Aが起こる確率と、Bが起こる確率を足したものになります。これを加法定理といいます。

$A\cap B=\phi$ ならば、

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$$

排反事象とは、同時に起こらないという事象のことで、 A∩B=$\phi$ と表記します。

$\phi$は空事象のことで、決して起こらない事象のことを指します。

A∪Bは、AまたはBという意味

A∩Bは、AかつBという意味

です。

また、事象AとBが排反事象でなく、共通部分があり重なっている場合はどうでしょうか。

共通部分とは、たとえば、トランプを1枚めくったら「数字の7である確率」、「ダイヤ♦である確率」は、共通部分がありますよね。ダイヤ♦の7 が出たら、この2つの事象が同時に発生したことになります。

共通部分があるのですから、排反事象(A∩B=$\phi$)ではないということです。

P(A∪B)の確率を計算するには、ダブっている共通部分だけ差し引いてやる必要があるので、

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$

となります。

参照:確率の加法定理の2つの事象の場合、3つの事象の場合

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