確率の基本的な公理

確率の基本的な公理について書きました。

どのような事象Aでも、確率はP(A)は0から1の間になる

0 ≦ P(A) ≦ 1

確率がP(A)=0であれば、Aは絶対に起きない、P(A)=1であれば、Aが絶対に起きることを表しています。P(A)はその間の数値になります。

%で表すとするならば0%から100%です。100%を越えることはないのですから、「120%そうだろう」、「2万%ありえない」など言う人もいますが、そのような確率は存在しませんから、確率論的にいえば、その言葉がありえません。思い切り強調したいときに使う表現なだけなのはわかりますが。

すべての事象をSとしたら、Sの確率は1 になる

すべての事象をSとしたら、Sの確率は1 です。

P(S) = 1

コイン投げの例でしたら、表(H)が出る確率は0.5、裏(T)が出る確率は0.5で、事象はこの2つしかありません。表(H)と裏(T)が出る確率、つまりすべての事象の確率は、0.5と0.5を足して1 になります。

P(H)+P(T) = 0.5+0.5 = 1

事象Aと事象Aが起こらない確率を合わせると1となります。事象Aがおこらない確率はA’と表記します。

P(A)+P(Ac )=1

加法定理

AとBの2つの事象があり、これらが排反事象であるとき、 「AまたはBが起こる確率」はAが起こる確率とBが起こる確率を足したものになります。 排反事象であることは、 A∩B=φ と表記します。A∩B はAかつBということです。φは空事象のことで、決して起こらない事象のことを指します。

A∩B=φならば、

P(A∪B)=P(A)+P(B)

また、事象AとBが排反事象でなく、共通部分があり重なっている場合はどうでしょうか。 共通部分があるのですから、A∩B=φ ではないということです。ダブっている共通部分だけ差し引いてやる必要があるので、

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

となります。

参照:確率の加法定理の2つの事象の場合、3つの事象の場合