確率の基本的な公理

確率の基本的な公理について書きました。

どのような事象Ａでも、確率はＰ(Ａ)は 0～1 の間になる

$Ｐ(Ａ)$は必ず、0 から1 の間の数値になります。

$$0≦P(A)≦1$$

$Ｐ(Ａ)$とは、Ａが起こる確率を表す記号です。

確率を英語で probability。この頭文字をとって、$Ｐ$が使われています。

確率がＰ(Ａ)＝0であれば、Ａは絶対に起きない、Ｐ(Ａ)＝1であれば、Ａが絶対に起きることを表しています。

％で表すとするならば0％から100％であり、100％を越えることはないです。

「120％そうだろう」、「2万％ありえない」など言う人もいますが、そのような確率は存在しませんから、確率論的にいえば、その言葉がありえません。思い切り強調したいときに使う表現なだけなのはわかりますが。

すべての事象をSとしたら、Sの確率は1 です。

$$P(S)=1$$

すべての事象を合わせれば、それが起こる確率は必ず、1 になります。

コイン投げを例してみます。コインを投げて出てくる面が表(Ｈ)になるか、裏(T)になるか見てみるとこい、表(Ｈ)が出る確率は0.5、裏(Ｔ)が出る確率は0.5です。事象はこの2つしかありません。

この2つのことが起こる確率、つまりすべての事象の確率は、0.5と0.5を足して1 になります。

$$P(H)+P(T)=0.5+0.5=1$$

また、事象Ａと事象Ａが起こらない確率を合わせると1となります。事象Ａがおこらない確率は「Ａ^ｃ」や「Ａ’」と表記します。

$$P(A)+P(A^c)=1$$

またしてもコイン投げを例にすると、表(Ｈ)が出る確率は0.5、表(Ｈ)が出ない確率（＝裏(Ｔ)が出る確率）は0.5ですよね。

表(Ｈ)が出る確率と、表(Ｈ)が出ない確率を合わせると、0.5と0.5を足して1 になります。

$$P(H)+P(H^c)=0.5+0.5=1$$

ＡとＢの2つの事象があり、これらが排反事象であるとき、「ＡまたはＢが起こる確率」は、Ａが起こる確率と、Ｂが起こる確率を足したものになります。これを加法定理といいます。

$A\cap B=\phi$ ならば、

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$$

排反事象とは、同時に起こらないという事象のことで、$Ａ∩Ｂ＝\phi$ と表記します。

$\phi$は空事象のことで、決して起こらない事象のことを指します。

$Ａ∪Ｂ$は、AまたはBという意味

$Ａ∩Ｂ$は、ＡかつＢという意味

です。

また、事象ＡとＢが排反事象でなく、共通部分があり重なっている場合はどうでしょうか。

共通部分とは、たとえば、トランプを1枚めくったら「数字の７である確率」、「ダイヤ♦である確率」は、共通部分がありますよね。ダイヤ♦の７が出たら、この2つの事象が同時に発生したことになります。

共通部分があるのですから、排反事象（$Ａ∩Ｂ＝\phi$）ではないということです。

$Ｐ(A∪B)$の確率を計算するには、ダブっている共通部分だけ差し引いてやる必要があるので、

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$

となります。