散布図(QC7つ道具)の書き方と見方。正の相関・負の相関はどのように打点されるか




散布図とはそもそもどんな図なのか。どのように作られるのか。また、正の相関関係・負の相関関係は、散布図ではどのように見えるのか…といったことについて書きました。

散布図とは

散布図とは、2つの変数の間の関係を見るために、縦軸と横軸に目盛りを設けてデータを打点(プロット)した図です。

2つの変数にはどのような関係があるか、一方が増えるともう一方はどのように変化するのか、一方が減るともう一方はどのように変化するのか、散布図から読みとることができます。

たとえば、

  • ヒトの身長と体重
  • ヒトの親と子の身長
  • 数学テストの得点と英語テストの得点

などです。ヒトは身長が高いほど体重も重くなる傾向があるでしょう。親の背が高ければ遺伝的に子の背も高くなる傾向にあるでしょう。

ここに10人の国語のテスト、英語のテストの結果があります。

・10人の国語の得点、英語の得点

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散布図の書き方

この2つの科目のテストの得点に、 どのような関係があるのか散布図書いて、見てみましょう。

散布図の横軸を国語の得点とし、縦軸を英語の得点とします。その2つが交わる箇所に点を打ちます。

これを10人分の得点を打点すれば、散布図が完成します。

まずは、ゴトウ君の得点を打点してみましょう。国語は50点、英語は40点です。

※点を打つことをプロットと言ったりもします。

☆ゴトウ君の点数を打点(プロット)

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次にコヤブ君の国語得点80点と英語の得点70点も打点します。

☆コヤブ君の点数を打点(プロット)

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この作業を繰り返し、10人の国語の得点と英語の得点を打点していくと、下のような散布図が完成します。

☆散布図 完成

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散布図を見ると、打点が右肩上がりになっており、国語の得点が高いほど、英語の得点も高くなる関係が見られます。

このように2つの変数が連動する関係のことを相関関係といい、一方の値が大きければ、もう一方の値も大きくなる傾向があることを、

「xとyの間に正の相関がある」

といいます。

逆に一方の値が大きくなると、もう一方の値が小さくなる傾向があれば、

「xとyの間に負の相関がある」

といいます。

相関関係の正・負、また強弱の言い表し方

2つの変数を、一方をxとし、もう一方をyとしたら、上記した国語の得点と英語の得点のように、正の相関もあれば、負の相関もありますし、その程度にもいろいろあります。

相関関係の正・負、また強弱について下記のように言い表します。

(1) xが大きくなれば、yも直線的に大きくなる場合 xとyの間に強い正の相関がある
(2) xが大きくなれば、yも大きくなる傾向がある場 xとyの間に正の相関があ
(3) xが大きくなっても、yが大きくなるわけではない場合(散布図上にバラバラに打点されている) 相関が無い
(4) xが大きくなれば、yが小さくなる傾向がある場合 xとyの間に負の相関がある
(5) xが大きくなれば、yが直線的に小さくなる場合 xとyの間に強い負の相関がある

散布図では、どのように打点がされるのかも合わせて見てください。

散布図の見方。正の相関や負の相関は、散布図上ではどのように見えるか

これらを散布図で見ると、次のような打点のされ方となります。

どのくらい相関関係があるのかを示す数値として、相関係数があります。 相関係数は、-1 ~ 0 ~ +1の間の値をとります。正の相関があるとプラスの値、負の相関があると相関係数はマイナスになります。

正の相関が強いほど相関係数は+1に近づき、散布図上では(1)のような図になります。右肩上がりに打点されていますね。

相関係数=1.0の場合には、打点が完全に直線になります。(1)の図は完全な直線ではないですが、それに近くなっており、相関係数=0.9程です。1.0 に近いので強い正の相関があるといえます。

正の相関が弱くなると相関係数が0 に近づいていき、0 になると全く相関が無い状態、つまり無相関で、図(3)のような散布図になります。

xが小さくなると、yも小さくなるという負の相関では、相関係数はマイナスの値をとり、図(4)のような散布図となります。

さらに負の相関が強くなると、図(5)のように直線に近くなり、打点が完全な直線になると相関係数が-1 となります。

図(6)のような散布図では、相関係数は0 に近くなります。相関係数としては、無相関ではありますが、このような打点には、なんらかの意味があるのではないかと思われます。

打点が直線的になっておらず、相関係数では相関がないと判断できても、2つの変数の間にはなにか関係性があることは、ありえます。

ところで、先ほど散布図を書いた10人のテスト結果で、国語の得点と英語の得点の相関係数は、0.81です。

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相関係数は0.81はなかなかの強い相関であるといえます。

※ただし10人だけのデータで精度が高くないですから、実際に活用する場合にはもっとたくさんデータ(30個以上)を集めた方がよいです。

散布図上での打点の傾き角度は、相関の強さに関係しない

ちなみに、散布図上での打点の集まりの傾き・角度は、相関の強さ・弱さに関係がありません。

バラつきが小さく直線的になっているかなっていないかが、相関の強弱です。

ためしに、下図のように縦軸の目盛りを200までにしてみたり、

グラフを正方形から長方形に変えるなどすれば、打点上に引いた線の傾きは簡単に変わります。

傾きは変わったとしても、当然ながら得点と相関係数は変わっていません。傾きと相関係数は関係がないことがわかります。

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