離散型の一様分布、連続型の一様分布とその平均と分散

一様分布とは、確率変数$x$の値がいくつであっても、確率密度関数が一定の値をとる分布です。

一様分布には、離散型一様分布と連続型一様分布があります。

“離散”と“連続”の違いは、対象のデータが離散的なデータであるか、連続的なデータであるかの違いです。

離散型一様分布の平均と分散、連続型一様分布の平均と分散について説明していきます。

離散型一様分布とその平均と分散

人数や個数、枚数などのように数えることができるものを離散型データといいます。対象が離散型データである場合、離散型一様分布となります。

確率密度関数の式は、

$$f(x)=\frac{1}{n}$$

です。

これは、$x$がどんな値になろうとも、結果として$\frac{1}{n}$となることをあらわしています。

$x=1$であっても、$x=2$であっても、$\frac{1}{n}$となってしまいますね。

たとえば、サイコロを振って出る目のことを考えてみると、1~6の目がそれぞれ出る確率は同じです。1、2、3、4、5、6のどれであっても、確率は$\frac{1}{6}$になります。

確率密度関数の式は、

$$f(x)=\frac{1}{6}\ (x=1,2,3,4,5,6)$$

です。$x=1,2,3,4,5,6\ $以外の場合は、発生する確率が無くて、$f(x)=0$になります。

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離散型一様分布の平均、分散、標準偏差

$$μ=\frac{1+2+3+…+n}{n}\\=\frac{1+n}{2}$$

$$\sigma^2=\frac{(1-μ)^2+(2-μ)^2+(3-μ)^2+(n-μ)^2}{n}$$

$$\sigma=\sqrt{\sigma^2}$$

サイコロの目の出方について平均、分散、標準偏差を計算してみましょう。

$$平均μ=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}\\=\frac{21}{6}\\=3.5$$

$$分散\sigma^2=\frac{(1-3.5)^2+(2-3.5)^2+(3-3.5)^2+(4-3.5)^2+(5-3.5)^2+(6-3.5)^2}{6}\\=\frac{(-2.5)^2+(-1.5)^2+(-0.5)^2+0.5^2+1.5^2+2.5^2}{6}\\=\frac{17.50}{6}\\=2.91667$$

$$標準偏差\sigma=\sqrt{2.91667}=1.70783$$

連続型一様分布とその平均と分散

身長や体重などの観測値や時間などは数えることができず、連続的なものです。これを連続型データといいます。対象が連続型データである場合、連続型一様分布となります。

データがとる最小値をa、最大値をbとします。

xはa以上、b以下の値をとる$(a\leqq x\leqq b)$とし、高さは一定です。図のようなグラフであらわせられます。

確率密度関数の式は、

$$f(x)=\frac{1}{(b-a)}$$

となります。

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$f(x)$は、aからbの間で一様に同じ値をとります。図の長方形の面積を1とすれば、長方形の高さは$\frac{1}{b-a}$の値になります。

図の長方形を見たときに、底辺が$(b-a)$であるので、この長方形の図が確率の合計であり、その面積を1とすれば、

$$底辺\times高さ=面積$$

$$(b-a)\times (高さ)=1$$

ですから、

$$ (高さ)=1\div(b-a)$$

となりますよね。

たとえば、$(0\leqq x\leqq 10)$のときには、

$$f(x)=\frac{1}{10-0}$$

となります。

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連続一様分布の平均、分散、標準偏差

$$μ=\frac{a+b}{2}$$

$$\sigma^2=\frac{(b-a)^2}{12}$$

$$\sigma=\frac{(b-a)}{sqrt{12}}$$

$x$が0~10の連続型一様分布の平均、分散、標準偏差を計算してみましょう。

$$平均μ=\frac{0+10}{2}=5$$

$$分散\sigma^2=\frac{(10-0)^2}{12}=\frac{10^2}{12}=\frac{36}{12}=8.33333$$

$$標準偏差\sigma=\sqrt{8.33333}=2.88675$$

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