ベルヌーイ試行と二項分布の違いと関係性

シェアする

ベルヌーイ試行と二項分布について、また、その違い、関係性についてを書きました。

ベルヌーイ試行

1回の試行で、2種類のどちらかの事象しか起こらない試行をベルヌーイ試行といいます。

片方の事象が発生する確率をp、とすれば、もう片方は1-p です。これが、同じ条件で独立して繰り返されることです。

たとえば、コイン投げをして、表が出るか裏が出るかについてを考えてみましょう。
コイン投げを行ったときに起こる結果はこの2つしかありません。表が出る確率、裏が出る確率は、それぞれ1/2ですね。

または、YesかNoか、男か女か、良品か不良品か、といった具合です。

二項分布

二項分布とは

コイン投げの例でいうと、ベルヌーイ試行であるコイン投げを10回行ったときに、10回のうちで表が出る回数が従う確率分布を二項分布といいます。

10回中、表が出る回数は0~10回となります。表が出るか裏が出るかは、1/2の確率なのですから、10回コインを投げたら、だいたい半分の5回付近になることが多そうな気はしますね。10回とも表が出ることや逆に0回ということは、ひょっとしたらあるかもしれませんが、確率はものすごく小さそうです。

ためしに10回コインを投げてみる、何回表が出たかを記録する。

再度、10回コインを投げてみる、何回表が出たかを記録する。

なんども繰り返していくと、表が出た回数は5回であったり、7回であったり、4回であったり、様々な回数になるでしょう。

それを繰り返していけば、分布がつくられそうです。

成功するか失敗するか、一定の確率があるベルヌーイ試行を、n 回行ったときに何回成功するのかを示した分布が、二項分布です。

成功確率pのベルヌーイ試行をn回行うときに、ちょうどx回成功する確率は次の式で計算できます。

f(x)=C × p ×(1-p)n-x

10回のコイン投げで0~10回、表が出る確率は?

例として、10回のコイン投げをとりあげます。

表が出ることが「成功」であるとして、0~10回それぞれ成功する(表が出る)確率を順番に見ていきましょう。

コイン投げで表が出る確率pは0.5です。まず、10回コイン投げをして、0回成功する確率は、

f(0)=10C0 × 0.50 × 0.510−0

=1 × 1 × 0.000976

=0.000976

10回コイン投げをして、0回成功する確率は、0.000976です。ちなみに、「f(0)」はコイン投げをして表が出るのが0回になる確率をあらわしています。表が出るのが5回になる確率なら、「f(5)」です。

10回コイン投げをして、1回成功する確率は、

f(1)=10C1 × 0.51 × 0.510−1

=10 × 0.5 × 0.00195

=0.009766

10回コイン投げをして、2回成功する確率は、

f(2)=10C2 × 0.52 × 0.510−2

=45 × 0.25 × 0.00390

=0.04395

このような具合で、計算していくと次のようにまとまります。

  • f(0)=10C0 × 0.50 × 0.510−0 = 0.00098
  • f(1)=10C1 × 0.51 × 0.510−1 = 0.0098
  • f(2)=10C2 × 0.52 × 0.510−2 = 0.0439
  • f(3)=10C3 × 0.53 × 0.510−3 = 0.1172
  • f(4)=10C4 × 0.54 × 0.510−4 = 0.2051
  • f(5)=10C5 × 0.55 × 0.510−5 = 0.2461
  • f(6)=10C6 × 0.56 × 0.510−6 = 0.2051
  • f(7)=10C7 × 0.57 × 0.510−7 = 0.1172
  • f(8)=10C8 × 0.58 × 0.510−8 = 0.0439
  • f(9)=10C9 × 0.59 × 0.510−9 = 0.0098
  • f(10)=10C10 × 0.510 × 0.510−10 = 0.00098

当然、表が出る回数が0~10回のそれぞれの確率を足し合わせると、1 となります。

二項分布は英語で、binomial distributionといいますから、Bi(n,p)とあらわされます。期待値と分散は次のとおりです。

期待値 E(x)= np

分散  V(x)= np(1−p)

10回コインを投げて、0.5の成功確率である表がx回出る確率分布 Bi(10, 0.5)は、

E(x)= 10 × 0.5

xの期待値 = 5回

V(x)= 10 × 0.5(1−0.5)

xの分散 = 2.5

となります。

ベルヌーイ試行と二項分布の違いと関係性

ベルヌーイ試行は、ある確率の2種類の事象が起こる試行のことです。

二項分布は、ベルヌーイ試行をn 回行って、そのうち成功する回数の分布のことを指しています。

ちなみに、あまり使われる言葉ではありませんが、二項分布のことをベルヌーイ分布とも言います。二項分布のほうがよく使われます。