調和平均の意味と計算方法

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調和平均とは、時速などを計算するときに使う平均値です。

土日の休みに、都会から田舎へ車で遊びに行ったとしましょう。金曜日の夜に出発し夜中の道を走りました。道は空いているので車をかっ飛ばすことができました。

土日の2日を田舎で遊び、日曜日の夕方に都会へ帰り始めました。都会に近づくにつれて、車が増え、ついには渋滞となりました。行きは、平均時速80㎞ものスピードが出せたのに、帰りは、平均時速30㎞のスピードとなってしまいました。

単純に算術平均で計算すると、

(80 + 30 )= 55

時速55kmとなります。しかし、行きのほうがスピードが速くて時間が短くて走行時間が短くなっていて、帰りは走行時間が長くなっているわけですから、その分、帰りの時速30kmのほうが影響力があるはずです。もっと時速は遅くなりそうです。

こんなときは、調和平均をつかって計算をします。このときの往復の平均時速はどのくらいなのでしょうか?

移動距離をakmとすると、

  • 行きは(a/80)時間
  • 帰りは(a/30)時間

かかったことになります。行きと帰りを合わせて、(a/80)時間+(a/30)時間をかけました。往復したのですから2 × akmを走ったことになります。時速=距離/時間ですから、

2a/((a/80)+(a/30))

となり、a = 1 とすると、

1 / (1/2 ×((1/80)+(1/30)))

となります。これを計算すれば、

tyouwaheikin

=43.636km

となります。往復の平均時速は、43.6km/時 です。

1 / 調和平均xHは、逆数どうしの算術平均として定義されています。

1 /xH = 1 / n((1 /x1)+(1 /x2)・・・+(1 /x))

※Hは、調和平均の意味である harmonic-mean の頭文字です。

※ふつうの平均というか、一般的によく使われる、データの和をデータの個数で割ったもの

この数式に当てはめれば、同じように

1 / xH = 1/2 ×((1/80)+(1/30))

H = 1 /(1/2 ×((1/80)+(1/30))

tyouwaheikin

=43.636km

となります。

また、最初に書いた数式では、実際に往復した距離をつかったほうがわかりやすいかもしれませんね。実際に往復した全距離を走行時間で割れば、往復した全距離のの平均時速が計算できます。これと同じことです。時速80kmで往路200kmを、時速30kmで復路200kmを走行したとしましょう。

往復距離は、400km

走行距離は、

(200/80)+(200/30)

= 2.5時間 + 6.666時間

= 9.166時間

時速は、

400km/9.166時間

=43.636km/時

実際の走行時間で計算するとわかりやすいかもしれません。