偏差値の計算方法

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大学の受験勉強をするときには、誰もが気にする偏差値。この偏差値も統計学を用いて算出されます。偏差値とはどのようなものなのか、偏差値はどうやって計算するのか書いていきます。

テスト結果は相対的な評価で知る必要がある

受験勉強は勉強は自分との闘いであると考えて、できることを増やし、前回よりも点数を上げていくことが大事です。しかしながら、受験は競争ですから、大勢の受験生の中での自分のレベルを知ること、自分の点数の相対的な評価を知ることも必要です。

たとえば、自分がテストを2回受けて、1回目、2回目ともに点数が80点であったとします。このとき、仮に平均点が70点であったら、自分がとった80点は良い点数となりますし、平均点が90点であったら、80点はよい点数とはいえなくなります。

また、自分の点数が80点で、平均点が70点であっても、
・他の学生の点数が70点あたりに集中していて、80点以上をとった学生が少ない場合

・80点をとった学生は多く、90点をとっている学生もいる場合

では、80点の評価が変わってきます。
つまり、平均点と点数のばらつき(標準偏差)によって、80点の評価は変わるのです。相対的に評価が変わってきます。2つのテストを比較するため、あるいは自分のテストの点数を、集団の中での位置関係でみて相対的に評価するために偏差値が活用されます。

基準化変換

偏差値を計算するには、まず、テストの点数の平均値と標準偏差を出し、自分の点数から平均点を引いて偏差を計算します。
自分の点数の偏差を標準偏差1単位あたりの偏差に変換します。これを「基準化変換」といいます。その標準偏差1単位あたりの偏差を「基準化変量」といいます。言い換えると、偏差が平均値から標準偏差何個分離れているか、を見るのが基準化変量です。

テスト受けた人全員のそれぞれ点数から平均値を引いて、すべてを足し合わせると0になります。つまりテストの点数の偏差の中心は0になります。基準化変換とは、

  • 平均点を0
  • 標準偏差を1

としたときの分布で考えることになります。テストの結果を基準化変換し、平均点を0点として、標準偏差を1とすることで、複数のテストの結果を比較できるようになります。今回行われたテストの平均点と標準偏差は、

  • 平均値 64点
  • 標準偏差 8点

であったとします。自分の点数が80点であれば、自分の点数から平均点を引いた数値、つまり偏差は16です。平均点よりも16点大きな点数をとっていることになります。この偏差が標準偏差何個分離れているのか、つまり基準化変量の値はいくつなのかを見ます。計算すると下記のようになります。

(80-64)÷8=2

基準化変量は2です。自分の点数80点は、標準偏差2個分プラス側に離れていることになります。平均値は0、標準偏差を1にした分布で、自分の点数の標準偏差は2ということになります。 基準化変換は偏差を標準偏差で割るわけですから、自分の点数が平均値とまったく同じであった場合、基準化変量は0となります。

(64-64)÷8=0

平均値と同じ点数をとったのであれば、数値は0

標準偏差1個分大きい得点であれば基準化変量は1

逆に標準偏差1個分小さい得点であれば基準化変量は-1

といった具合です。0を中心として、この基準化変量の数値がいくつになるのかを見ていきます。テストの点数は正規分布すると考え、それぞれの点数は、

基準化変量±1の範囲に、68.26%
基準化変量±2の範囲に、95.44%

おさまると考えます。

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基準化変量が+2以上、-2以下になるのは、4.56%以下の確率でだいぶ少ないわけです。

+2以上になる確率は、その半分の2.28%以下です、平均値64点・標準偏差8点のテストで80点をとったとしたら、基準化変量は+2になりますから、全体の上位2.28%の実力者ということになりますね。

基準化変量をみることで、自分の点数がテストを受けた人たちの中で、どのくらいに位置しているのか把握したり、複数の異なるテストの結果を比較することができるようになります。

基準変化量から偏差値へ

基準化変量は、0を中心として、マイナスの値も出てくることになりますし、だいたいの数値が、-3~+3の間に収まり、表される数値は0.6とか1.3というように小数点を含んだ小さな数値になります。
もっと得点らしい数値にするために、平均値0、標準偏差1の分布で基準化変量を見るのではなく、
平均値を50、標準偏差を10に拡大した分布の中での見る値が、偏差値です。

上記した

  • 平均値 64点
  • 標準偏差 8点

のテストで80点をとった場合の偏差値の計算の仕方です。まず基準化変量を求めます。

基準化変量 (80-64)÷8=2

標準偏差2個分、平均値よりも高い点数をとっています。基準化した状態では標準偏差は1なので、標準偏差を10にして考えるには、10倍します。基準化変量も同様に10倍します。基準化変量は2で、標準偏差2個分でした。

10×2=20

となります。平均値は50として、ここから標準偏差2個分の+20離れているわけです。

50+(2×10)=70

偏差値は70となります。

正規分布では、

偏差値50±10の範囲に、68.26%

偏差値50±20の範囲に、95.44%

がおさまると考えますから、偏差値30を下回る人と、偏差値70を上回る人は、合わせて4.56%になります。偏差値30を下回る人だけは半分の2.28%、偏差値70を越える人も同じく2.28%となりますから、偏差値70を越える人は、かなりよい成績であることがわかります。

偏差値70前後が必要になる日本国内のトップクラスの大学に入れるような人は、上位2.28%にくい込むことができる相当な実力者であることがわかります。