期待値でどちらを選べばよいのかを計算できる

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期待値の計算方法

期待値とは確率変数の値を、確率による重み付けで平均した値です。なんども試行を続けた際の、1回あたりの平均値となります。たとえば、サイコロで考えてみましょう。1、2、3、4、5、6の目が出る確率は、それぞれ1/6で、各目には1/6ずつの重みがあります。数値に1/6を掛け合わせたものを足し合わせます。

1の目  確率1/6  1×1/6=1/6

2の目  確率1/6  2×1/6=2/6

3の目  確率1/6  3×1/6=3/6

4の目  確率1/6  4×1/6=4/6

5の目  確率1/6  5×1/6=5/6

6の目  確率1/6  6×1/6=6/6

1/6+2/6+3/6+4/6+5/6+6/6 = 21/6 = 3.5

サイコロの出る目、1回あたりの平均値は3.5となります。1の目が出たり6の目が出たりすることがありますが、平均すると3.5となるわけです。また別の計算方法として、出る目すべてを足し合わせて、その個数で割る方法があります。

(1+2+3+4+5+6)÷6 = 3.5

同じ結果になります。

どちらを選べばよいか期待値で計算ができる

確率で結果が変わるようなものごとがあった場合、どちらを選べばいいのか計算して考えることができます。

家族の大黒柱・お父さんであるあなたは、子供毎月に2000円お小遣いをあげています。今月のお小遣いをあげるときになって、子供はこんなことを言い出しました。

「ジャンケンをして、お父さんが勝ったらお小遣いは1500円でいいから、僕が買ったら3000円にのお小遣いをくれない?」

さて、この提案にのっていいものかどうか。

まずジャンケンの勝敗の確率は、出す手にクセがあってそれを見抜かれているような場合でない限り、勝つ確率1/2、負ける確率1/2ですから、勝率は1/2で考えることにします。3000円に対して1/2、1500円に対して1/2の重みづけをします。

3000×1/2 = 1500
1500×1/2 = 750

その結果を足し合わせます。

1500+750 = 2250

期待値は2250円となりました。

最初にたまたま連勝して2000円より安い、1500円のお小遣いをあげることが続いたとしても、このジャンケンを繰り返すほど、それまであげたお小遣いの平均は期待値に近づいていきますから、結果として毎月2250円をお小遣いをあげるのと同じことになります。それだと、もともとの金額、2000円よりも250円多くあげていることになりますから、まだお小遣いを増やしたくないのであれば、この提案にはのらないほうがよさそうです。子供もなかなか考えていますね。