確率の基本

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確率とは

確率とは、「ある事象が起こる確からしさの割合」のことをいいます。あるものごとが偶然に起こる程度がどのくらいであるのか、数値で表現することができます。

サイコロ投げについて考えてみましょう。サイコロ投げであれば、サイコロを振ってどのような結果が出るかをみること、実験や観測を「試行(trial)」といい、その結果出た目のこと、試行の結果起こることを「事象(event)」といいます。そして、事象が起こる確からしさの程度の大きさを「確率(probability)」と呼びます。

  • サイコロを1回投げた時の「6」が出る確率
  • トランプのカートを引いたら「K」が出る確率
  • 宝くじの1等に当選する確率

といった使い方をします。日常の生活でもよく使われる言葉ですね。

記号での表し方

ある事象をAで表し、事象Aが起きる確率を0.20とすると、記号では下記のように表記します。

P(A)

事象Aが起きる確率を0.20とすると、記号では下記のように表記します。

P(A)=0.20

コイン投げの結果、表・裏をそれぞれHとTで表すと、

P(H)=0.50 P(T)=0.50

表が出る確率はP(H)、事象Hが起こる数をr、起こりうるすべての場合の数をnとすると、

P(H)=事象Hが起こる場合の数/起こりうるすべての場合の数

P(H)=r/n

となります。

基本的な公理

どのような事象Aでも、確率はP(A)は0から1の間になる

0 ≦ P(A) ≦ 1

%で表すとするならば0%から100%です。確率がP(A)=0であれば、Aは絶対に起きない、P(A)=1であれば、Aが絶対に起きることを表しています。100%を越えることはないのですから、120%の力を発揮しますとか、2万%ありえないなど言う人もいますが、そのような確率は存在しません。思い切り強調したいときに使う表現なだけなのです。

すべての事象をSとしたら、Sの確率は1になる

P(S) = 1

コイン投げの例でしたら、表(H)が出る確率は0.5、裏(T)が出る確率は0.5で、事象はこの2つしかありません。表(H)と裏(T)が出る確率、つまりすべての事象の確率は、0.5と0.5を足して1になります。

P(H)+P(T) = 0.5+0.5 = 1

事象Aと事象Aが起こらない確率を合わせると1となります。事象Aがおこらない確率はA’と表記します。

P(A)+P(A’)=1

加法定理

AとBの2つの事象があるとき、これらが排反事象であるとき、 「AまたはBが起こる確率」はAが起こる確率とBが起こる確率を足したものになります。 排反事象であることは、 A∩B=φ と表記します。φは空事象のことであり、決して起こらない事象のことを指します。

A∩B=φならば、 P(A∪B)=P(A)+P(B)

また、事象AとBが排反事象でなく、共通部分があり重なっている場合はどうでしょうか。 ダブっている共通部分だけ差し引いてやる必要があるので、

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

となります。