順列の意味と計算方法

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n個の中からr個のものを選んだ並べ方のことを「順列」といいます。

順列について考えるにあたって、手元にある5つのポスターのうち3つのポスターを、部屋の壁に貼っていくときのことを例としてみます。

5つの中から3つを選ぶとき

まず一番左に貼るポスターを選ぶことにしました。 5つの中でどのポスターでもいいわけですから、5通りの選び方があります。

その次に真中に貼るポスターをを選ぶときには、一番左に貼ったポスターを1枚を除いて、4枚のポスターの中から選びますから、4通りの選び方があります。

最後に、3つめのポスターを選ぶときには、残りの3枚のポスターの中から 選びますので、3通りの選び方があります。1回目の選択が5通り、2回目の選択が4通り、3回目の選択が3通りのパターンがありますから、 すべての選び方を合わせるには、3つの選択肢の数を掛けあわせればいいので、

5×4×3=60

60通りの選び方があるわけです。

順列の公式

順列を英語で「permutation」ということから、n個の中からr個のものを選んだ並べ方を記号で、

と表します。上記した5枚のポスターから3枚のポスターを選んで並べるときには、

53

と表わします。

計算式は、

 = n!/(n-r)!

です。

n=5、r=3として計算すると、

=(5×4×3×2×1) / (5-3)!

=(5×4×3×2×1) / 2!

=(5×4×3×2×1) / 2×1

=5×4×3

となります。

※「!」は階乗といい、その数字以下の自然数すべてをかけたものです。

0!=1

1!=1

2!=2×1

3!=3×2×1

10!=10×9×8×7×6×5×4×3×2×1

長くなってしまう式を短く表すことができます。

別の考え方としてはこのようにできます。

nからr個分、掛け算をする。

n=5、r=3、としたら、5から3個分掛け合わせるので、5×4×3となります。

順列の例題

他にも例題を見てみましょう。

10枚のカードから3枚を選んで並べる。並べ方は何通りか?

103 = 10!/(10-3)!

=10×9×8

=720

→ 720通りあります。

5個のボールから4個のボールを選んで袋に入れる。入れ方は何通りか?

54 = 5!/(5-4)!

=5×4×3×2

=120

→ 120通りあります。